Zur numerischen Lösung von Dreikörnerproblemen des eingeschränkten Dreikörnerproblem
Zur numerischen Lésung von Randwertaufgaben des
eingeschränkten Dreikérperproblems
Aufsatz von
Dr. Ing. K. Nixdorff und Ing. H. Altmann
INHALTSVERZEICHNIS Seite
1. Maschinengleichungen 2
2. Schaltplan 7
3. Tabelle der benötigten physikalischen Konstanten 7
4. Wahl der Maßstabsfaktoren 7
5. Potentiometerliste 9
6. Verstärkerliste 10
7. Durchführung der Rechnungen 10
MASCHINENGLEICHUNGEN |
Die Problemgleichungen (mit m, statt B und m, statt a)
ee ° 2 xta_
X-uy-n x +ym,= xP +ym, u (1)
; r
F + Qk - wey ae tym, = 0 (2)
s r
müssen zur Lösung mit dem Analogrechner normiert werden.
Hierzu werden die Problemgleichungen zunächst nach der höch-
sten Ableitung aufgelöst; .
.. - = +
-X=- Qny - eS tym, arm Ha, (3)
s r
se ae y xy
- y=+ WWx-w y +ym, 3 +ym, 3 e (4)
Mit den Substitutionen
x=v x=V (5)
y-w y-w (6)
ergibt sich dann
- =~ ww x tym, 2 +ym, FE, (7)
s X
~ Wet Ov ow y +¥m, Grm. (8)
s
Diese Umformung hat den Vorteil, daß wir mit den zusätzlichen
Variablen v und w auch zusätzliche Maßstabsfaktoren erhalten,
die wir frei wählen können. Wir erreichen dadurch eine bessere
Anpassung an den Rechner.
Wir treffen folgende Vereinbarungen
=. V (9)
nn (10) .
x=\, x (11)
=X
y J Y (12)
t -\, t (13)
wobei} ; die Maßstabsfaktoren, kleine Buchstaben die Problem-
variablen und große Buchstaben die entsprechenden dimensions-
losen Maschinenvariablen bedeuten.
In unserem Fall darf die xy-Ebene wegen der notwendigen
Bildung der Funktionen
1 1
Er (14)
rg (xta)*+y")9/?
I) 1 1
a (15)
- (
nicht verzerrt werden, da nach Bildung der Funktionen nicht
mehr entzerrt werden kann. Daher muß hier
Ae ry (16)
gesetzt werden. Unter der Voraussetzung, daß die Masse mg
sehr viel größer als m, ist, macht sich die Bevorzugung der
x-Richtung gegenüber der y-Richtung erst in näherer Umgebung
von m, stark bemerkbar. Deshalb empfiehlt es sich
Rn (17)
zu setzen.
Weiterhin ergibt sich mit
a sont
a ar r 7 (vergl. 13) (18)
aus (9)... (12)
og OV, . dav_ 7
Va AA gen ay KV (19)
und entsprechend
w = \, hy Ww (20)
Zu Ne Niet (21)
y Sa eel 4 (22)
Da
x=-v= hy Vv (23)
folgt außerdem aus (21) und (22)
x = Vv (25)
a w. (26)
Die beiden letzten Gleichungen stellen schon einen Teil der
Maschinengleichungen dar.
Setzt man nun die Beziehungen (9).... (13), (19) und (20) in die
Gleichungen (7) und (8) ein, dann erhält man die übrigen
Maschinengleichungen:
2
A
Bl x (27)
w
Az hy N, a
mn min X+A ©
+ —— + 372 ’
Aziy ee: ((X-B)2+¥7)° 4 4 Zz a v x x 4 (X+A)2+¥2)9
-V=-
X-B
. w
„We+äy. ee y (28)
x Ro
vA ZY,
ym, Ar 4 ymAn % z
+ +
Ty hy VE (Be NL y Oe” (xe) 2+¥2) 9/2
Da man, wie sich bei der Durchführung der Bahnberechnung
zeigen wird, bei der Bildung der Funktionen
1 1
F, = — und F, = 7)
((X-B) +Y
(29)
1 ayeevy/? 2
2,372
Werte von |Fı,2|>>1 erhält, die betreffenden variablen Funktions-
geber aber nur Werte [Fj 9|= 1 abgeben, muß auch für die Funk-
tionen Fy und Fy ein Mafistabsfaktor eingeführt werden.
Wir setzen
"Ir Py (30)
B® An Fp (31)
und erhalten damit die endgültige Form der Maschinengleichun-
gen:
F
2 ee
eee Sp nhs see x x
A IA,
I har, Ar X-B Piya hy X+rA
Ry x? A UR-B)HY 23/2 * tg ty hee 2,3/2 °
x dal (X+A)? +Y )
: Tah
-W=+—av-— Y
XZ Ag hy
yYmyh r 1 ae 1
Az Ay = dp ((X-B)” +Y 2372" A,\, 1% AnliXHA)” +Y 2,912
Hierbei stellen jeweils die ersten Brüche der einzelnen Glieder
die Maschinenkoeffizienten k, dar.
Es ist
2 u,
ky =<" (34) k= (35)
Az AyAy
m.‘ m,‘
ae Ty Mg F
2 he dy Xx? ; = 1,2
Wie aus dem Schaltplan ersichtlich ist. ergeben sich noch weitere
Koeffizienten, die alle in der Potentiometerliste zusammengefaßt
sind.
Die Maßstabsfaktoren \ i müssen nun so abgestimmt werden, daß
1. Sämtliche Maschinenvariablen dem Betrage nach kleiner oder
gleich Eins sind,
2. für die Koeffizienten k, stets k; = 1 gilt.
Bei der speziellen Wahl der Maßstabsfaktoren hy sollte man dar-
auf achten, daß der größte Koeffizient gleich Eins wird. Dadurch
werden Koeffizientenpotentiometer eingespart, und außerdem wird
die Genauigkeit der Rechnung vergrößert.
*
(32)
Y. (33)
SCHALTPLAN (siehe Seite 6)
TABELLE DER BENOTIGTEN PHYSIKALISCHEN KONSTANTEN
Masse der Erde m, = 5,970. 1074 kg,
Masse des Mondes m, = 7, 347: 03° kg,
3
Gravitationskonstante y = 66,7. 10°. au
s kg
Mittlere Entfernung zwischen Erde und Mond 1 = 384 400 km.
WAHL DER MASZSTABSFAKTOREN
Bei der Wahl der Maßstabsfaktoren ergeben sich erhebliche
Schwierigkeiten. Erst nach mehrmaligem Durchrechnen sämtlicher
Maschinenkoeffizienten konnte eine endgültige Festlegung ge-
troffen werden. Für die Schwierigkeiten gibt es mehrere Gründe:
1. Die Maschinenkoeffizienten sollen etwa im Bereich
0,01zsk=1
i
liegen. Mit Min (k,) = 0,00892 und Max (k,) = 1 konnte
dieser Bereich rn mehr ganz eingehalten werden, doch
ist der Wert von 0, 00892 noch vertretbar.
2. Der Satellit sollte einen möglichst großen Bereich der
xy-Ebene durchfliegen können, ohne daß einzelne Ver-
stärker des Rechners übersteuern. Da weiterhin die
Gravitationskräfte von Erde bzw. Mond für r +0 bzw.
s -0 gegen » gehen, muß ein gewisser Bereich um Erde
und Mond als Flugfeld ausgeschlossen werden. Dieser
Bereich sollte möglichst klein gehalten werden. Er ergibt
sich hier zu r£105 km und s=109 km.
Es ergibt sich folgende, endgültige Festlegung der Maßstabs-
faktoren: 3
Maßstabsfaktor der Ortskoordinaten Kar 10° [km],
Maßstabsfaktor der Funktionsgeber Legg 2 ia Erle
Maßstabsfaktor der Geschwindigkeiten ks = 10 =].
Wie sich zeigte, hatte der Maschinenkoeffizient k 4 den größten
Wert aller Koeffizienten. Aus der Bedingung
k, —— = l (38)
-]
ergab sich dann der Maßstabsfaktor der Zeit X, zu
ym, Ee: 4
IE 7,9610 er. (39)
Mit diesen Maßstabsfaktoren und mit Hilfe des Schaltplanes
können wir jetzt die Potentiometerliste und die Liste der Ver-
stärker zur statischen Kontrolle des Rechners aufstellen,
Als konstante Maschinengrößen erhalten wir
x
= ° =
x, _ 0,2
A =—*— = 0, 00468
A x
B = = = 0,37972
x
POTENTIOMETERLISTE
Pot. - Koeffizient Formel Wert
Nr.
1 Qu /2 0, 0669
2 x A, ) =X/V 0,126
3 2(x+a)/r, =2(X +A) 0, 409
4 WAL (Ary ) 0, 00892
5 2n/X, 0, 0669
6 2(atb)/A, =2(A+B) 0,768
2
7 “a /a,,) 0, 00892
8
9 2x, / hy =2V gesucht!
10
11 Qu /, 0, 0669
12 2u/2, 0, 0669
13 a he AA.) =Y/W 0,126
; = !
14 2y,/ A, 2W_ gesucht!
2
0,00892
15 " el (AL AL)
16 LT ur, © ) 0,0123
17 ymoXn/( A, A22) 0,0123
18 WAI (A \.) 0, 00892
19 ym, RR ° 3 0,0123
20 ‘
~ 1,0
2
NPAs All Aah hx )
9
10
VERSTARKERLISTE
Sie wird zur statischen Prüfung der Rechenschaltung benötigt.
Hierzu werden die Ausgangsspannungen an den einzelnen Ver-
stärkern in der Betriebsart Pause gemessen. Der Integrierer
Nr. 11 hat entsprechend dem Schaltplan in der Ausgangsstellung
keine Spannung am Ausgang. Folglich haben einige der nach-
folgenden Elemente ebenfalls keine Ausgangsspannung. Um
trotzdem eine Prüfung mit von Null verschiedenen Spannungen
zu ermöglichen - nur so kann das einwandfreie Arbeiten der
Rechenelemente geprüft werden - wird dem Intergrierer Nr. 11
während der Kontrolle ein Anfangswert 1 - 0,5 aufgeschaltet.
Verst. Nr. Errechneter Sollwert
1 + 0, 200
2 - 0,409
3 + 0,409
4 - 0,581
5 - 0,016
6 - 0,36
7 +0,36
8 + 0,016
9 + 0,020
10 - 0,300
11 - 0,500
12 + 0,500
i$ - 0,618
14 - 0,018
15 - 0,016
Mi + 0,006
M2 + 0,008
M3 + 0,750
M4 + 0, 0063
U11 + 0,016
U12 + 0, 0175
DURCHFÜHRUNG DER RECHNUNGEN
Als erstes werden die Funktionen Fj und Fa (s. (26)) einge-
stellt. Allgemein wird zur Einstellung das Argument von Null
aus zuerst in einer (z.B. positiven) und dann in der anderen
(z.B. negativen) Richtung in Schritten von 0,1 E (E=Maschinen-
einheit)bis + 1 E in den Eingang des Funktionengebers gegeben,
d.h. der Bereich des Argumentes wird durch 21 Stützstellen
unterteilt. Nach jedem Schritt wird mit dem entsprechenden
Einstellknopf (der insgesamt 21 Knöpfen pro Funktionsgeber)
der Funktionswert eingestellt. Da wir aber für Fy und Fa nur
positive Argumente haben, ginge die Hälfte des Einstellbereiches
-1 = Argument = + 1 verloren, wenn nicht durch eine besondere
"Schaltung (s. Schaltplan) eine Substitution durchgeführt würde.
Laut Tabelle, die wir zur Einstellung benützen, läuft das
Argument
R? = (x+a)24+y?
2.3
der Funktion IE (R°)2 (vergl. 29)
im Bereich 0<R’s 0,5.
Durch die Substitution
A224 R* 1
erhalten wir „1: R2S4 1,
wovon wir aber wegen
nur den Bereich -0,96=R
ausnutzen kénnen.
Den Werten v it ordnen wir jetzt die zu den entsprechenden
Argumenten R gehörenden, normierten Funktionswerte Fr, zu.
Nach Einstellen der Funktionsgeber wird die Schaltung auf
dem Prögrammierfeld gesteckt und anschließend werden die
Potentiometer eingestellt, (Einstelltabelle umseitig).
Schließlich wird die Schaltung statisch geprüft. Für den Anfangs-
zustand der '"'Maschinenrechnung'' werden die Ausgangsspannungen
der einzelnen Verstärker rechnerisch ermittelt (Sollwert) und
mit den gemessenen Istwerten verglichen. Stimmen die Beträge
bis auf geringe Abweichungen und die Vorzeichen der Werte über-
ein, so wurde die Schaltung richtig ausgeführt.
Nach dem Festlegen der Maßstäbe am Zweikoordinatenschreiber
werden die Randbedingungen, d.h. Anfangs- und Endpunkt der
Bahn, in ein kartesisches Koordinatensystem auf einem vorbe-
reiteten Papierblatt eingetragen. Das Blatt wird auf der Schreib-
platte des Schreibers ausgerichtet und fixiert. Anschließend
wird die Spitze der Feder in den Anfangspunkt gebracht. Die
Potentiometereinstellungen für die Anfangsgeschwindigkeiten
sind vorerst geschätzt.
Nun wird die Rechnung begonnen und die Flugbahn auf dem Papier
verfolgt. Gleichzeitig wird die Rechenzeit gemessen und mit der
Rechenzeit verglichen, die.der vorgegebenen Flugzeit entspricht.
Die Einstellungen der Potentiometer Nr. 9 und Nr. 14 müssen
für jeden Versuch verändert werden, bis sich die Spitze der
Feder nach Ablauf der durch die Flugdauer festgelegten Rechen-
zeit im vorgeschriebenen Punkt befindet. Mit Hilfe der Formeln
für die Potentiometer Nr. 9 und Nr. 14 lassen sich aus den gefun-
denen Koeffizientenwerten die gesuchten Komponenten der An-
fangsgeschwindigkeit des Satelliten errechnen. Damit ist das
Problem gelöst. Mit Hilfe der Formeln für die Potentiometer
Nr. 9 und Nr. 14 lassen sich aus den gefundenen Koeffizienten-
werten die gesuchten Komponenten der i aii":
des Satelliten errechnen.
11
i
Tabelle zur Einstellung der Funktionsgeber
Arg. R? Subst, R F= - F=F/ Ap
(R?)?
(0) (-1, 0) (co) (od
0,010 -0, 96 1000 0,5
0,025 -0,9 252 0,125
0,050 -0,8 89,4 0,0447
0,075 RL 48,3 0,0243
0,100 -0,6 31,6 0,0158
0,125 -0,5 22,6 0,0113 4,
0,150 -0,4 17,2 0,0085
0,175 -0,3 13,6 0, 0068
0, 200 -0,2 11,8 0,00551
0,225 | 9,35 0, 00467
0,250 0 8, 00 0,0040
0,275 0,1 6,94 0,00347 .
0,300 0,2 6,08 0,00304
0,325 0,3 5,40 0,00270
0,350 0,4 4,83 0,00241
0,375 0,5 4,36 0,00218
0,400 0,6 3,95 0,00197
0,425 0,7 3,62 0,00181
0,450 0,8 3,31 0,00165
0,475 0,9 3,06 0,00153 <7
0,500 1,0 2,82 0,00141
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775 Konstanz, Bücklestraße 1-5 _ Nachdruck nur mit Quellenangabe gestattet
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