Der Analogrechner als Lehr- und Übungsgerät in der Regelungstechnik
P(E)K ELECTRONIC
Versuchsanleitung
und Demonstrationsvortra
mn am a da BELA A SS a ad ER FE SY es ene am ee m
ee es es es ee ss du mamma Ian am au u mu mu GE GE GH pn m m
(Nach einem Refereat von Dipl.-Ing. G. Zerbe
Staatl. Technikerschule, Weilburg.)
A. Allgemeines
Es werden die Möglichkeiten zur Simulation dynamischer Vorgänge
in Regelstrecken, Regeleinrichtungen und Regelkreisen gezeigt.
Die mit verschiedenen Reglertypen an einer linearen Regelstrecke
2. Ordnungserreichbaren Regel-Ergebnisse werden demonstriert.
I. Einführung
Es werden 3 Problemkreise angeschnitten:
1) Die Simulationstechnik mit Hilfe des
Analogrechners - ein Anwendungsgebiet
der Elektronik.
2) Der Entwicklungsstand auf einem Gerütesektor
der Elektronik - Operationsverstirker
in integrierter Technik.
3) Die Ausbildung von Technikern.
Der Anologrechner eignet sich besonders zur Simulation dynamischer
Vorgänge. Von großer Bedeutung ist seine Verwendung in der Regelungs-
und Steverungstechnik, weil er sich zur Nachbildung von Regelstrecken,
von Reglern und von kompl. Regelsystemen eignet.
Der Operationsverstiérker, auch Rechenverstürker genannt, wurde eigens
für den Analogrechner entwickelt und hat jetzt auch Eingang gefunden
in alle Gebiete der Elektronik, nicht zuletzt durch Verbesserung seiner
Eigenschaften durch weitgehende Integration seiner Bauteile.
Fur die Bedienung analoger Rechenanlagen sind neve Überlegungen: in
didaktischer und methodischer Sicht erforderlich, um das Verständnis
dynamischer Strukturen zu erleichtern.
Januar 1972 A 1362 - S.1
II. Simulation dynamischer Vorgänge durch Analog-Modelle
Zunächst sollen die Begriffe Analogie
Simulation
Modelle
Dynamik
an einigen Beispielen verdeutlicht werden.
Wenn ein Kraftfahrzeug optimal gefedert werden soll, oder wenn
elektrische Schwingkreise und elektronische Schaltungen auf ihre
Frequenzabhängigkeit untersucht werden sollen, oder wenn elektrische
Antriebe auf ihre Belastungsfähigkeit während des Betriebs unter-
sucht werden sollen, immer ist es dann erforderlich, Einschwingvor-
gänge des Systems zu analysieren um daraus das dynamische Verhalten
des Systems zu ermitteln (Systemanalyse).
Umgekehrt kann ein System mit optimalem Verhalten dann entwickelt
werden wenn die Einflüsse der einzelnen frei wählbaren Parameter
bekannt sind (Synthese eines Systems).
Beispiel: Ein Kraftfahrzeug ündert seine Lage, wenn sich seine
Belastung ündert. Dieser Sachverhalt kann symbolisch
durch Bild 1 ausgedrückt werden.
Bild 1
aelastungezFohrzeug Lage - u Lagenänderung
änderung | änderung eines Kraft-
fahrzeuges
Da Federn und Massen im System zusammenwirken, ist die Schwingungs-
fühigkeit eines Fahrzeuges von besonderem Interesse. Diese Schwin-
gungsfähigkeit ist eine der wissenswerten dynamischen Eigenschaften
dieses Systems.
Auch andere wissenswerte Systemeigenschaften ergeben sich aus der
Reaktion auf bestimmte Anregungen.
Bild 2 stellt diesen Zusammenhang allgemein dar.
| Bild 2
Anregung | System Reaktion Systemeigenschaften
Z X
‚Bei Anregung eines Systems wird immer durch Energie-Zufuhr oder durch
Energie-Entnahme ein Energie-Austausch eingeleitet, der zwischen den
im System enthaltenden Speichern stattfindet. Anzahl, Größe, Art und
gegenseitige Kopplung dieser Energie-Speicher sind für das Verhalten
des Systems, d.h. für die dynamischen Eigenschaften verontwortlich.
Grundsätzlich spielt es dabei keine Rolle, ob das System mechanische
elektrische oder pneumatische Speicher besitzt und entsprechend ange-
regt wird.
Januar 1972 A 1362 - 5.2
P(E)K ELECTRONIC
Die Gegenüberstellung von zwei Schwingungsfühigen Systemen verschie-
dener Energieform möge diesen Sachverhalt verdeutlichen.
(1) Mechanisches System
Das Mechanische System nach Bild 3 besteht aus Feder, Masse und
Dümpfung. Anregung ist eine Krafteinwirkung z. Zu untersuchen ist
der zeitliche Bewegungsablauf x.
Die Newton’sche Gleichung führt auf eine lineare Differentialglei-
chung, die die Koeffizienten Reibung, Federkraft und Masse enthült.
R m c Bild 3
yy Mechanisches
v Schwingungssystem
Z|
A+ z(t) =C* x(t) +R +x (t) + M> x"(t) (1)
A-+-z(t)=C°*x +R +» x +M-X (2)
mit den zeitlichen Ableitungen x = x (t) = = (3)
2
x
x(t) - I& (4)
x
iF
ul
a
ce
BS
(2) Elektrische Systeme
Der elektrische Schwingkreis nach Bild 4 enthält Spule, Kondensator
und Dämpfungswiderstand. Die Anregung in Form einer Spannungsänderung
z an den Klemmen bewirkt eine Stromünderung x. Der zeitliche Verlauf
des Stroms folgt einer linearen Differentialgleichung. Durch Differen-
zieren der rechten Seite dieser Gleichung (d.h. der sogenannten charak-
teristischen Gleichung) erhült mon eine dem mechanischen System voll-
kommen analoge Systemgleichung:
A. z(t) =R. xt) +L & +20) at (5)
Z >
R Ci L Bild 4
zur It a
Januar 1972 A 1362 - 5.3
Sowohl das mechanische als auch das elektrische System verhalten sich
bei entsprechender geeigneter Anregung gleich, weil sie derselben
charakteristischen Differentialgleichung gehorchen; sie sind also
analog und erfüllen die Gleichung in der allgemeinen Form
a. Z=2E8,.Xxt+t5. x + 5. x (6)
Darin sind z die Anregung, x die Reaktion, x die erste zeitliche
Ableitung der Reaktion, x die zweite Ableitung der Reaktion, je-
weils als Funktion der Zeit. a, s_, $11 Sor sind konstante Koeffi-
zienten, die sich beim mechonischen System aus Reibung, Federkraft
und Masse, beim elektrischen System aus Induktivität, Kapazität und
Widerstand ergeben.
Die Differentialgleichung des mechanischen Systems enthält 2 Ab-
leitungen von x, sie ist also 2. Ordnung.
Sie beschreibt, wie sich der Federweg x ündert, wenn das Gesamt-
system einer Störgröße z unterworfen wird.
Das System ist grundsätzlich schwingungsfühig. Uns interessiert
jetzt der zeitliche Einschwingvorgang.
Ein Analogrechner enthült Rechenbousteine, mit denen es möglich ist,
solche und auch wesentlich kompliziertere Differentialgleichungen ge-
rätetechnisch nachzubilden, also zu simulieren. Die Signale z und x
werden durch Rechenspannungen nachgebildet, die Konstruktionsgrößen
Reibung, Federkraft und Masse werden durch Spannungsteiler realisiert.
(3) Simulation eines Schwingungssystems
Die oben abgeleitete Differentialgleichung 2. Ordnung wird umgeformt
und für folgende Werte mit dem Analogrechner gelöst, d.h. der zeitliche
Verlauf von x bei definierter Anregung z ermittelt:
so = 0,8 sı = 0,3 So = 1
Dann ergibt sich u .
8+ X=a-.zZ- 857 .%-8,.% (7)
x=0.z-0,3x -0,8 x (8)
Januar 1972 A 1362 - S.4
P(E)K ELECTRONIC
Die Veründerliche x mit der höchsten Ordnung ergibt sich also
aus einer Summe, die die Anregung z und die Veränderlichen x
niedrigerer Ordnung als X enthält. Mit einem Integrator kann
für festgelegte Anfangsbedingungen aus x als Funktion der Zeit
die Veründerliche x als Funktion der Zeit ermittelt werden, weil
sich aus der 2. Ableitung die 1. Ableitung nur durch Integration
ergibt. Zu beachten ist, daß der Integrator bei dieser Operation
das Vorzeichen dreht. Ebenso ergibt sich aus x die gesuchte Ver-
änderliche x durch Verwendung eines weiteren Integrators. x und
Ableitung x werden über Spannungsteiler auf Eingänge des 1. Inte-
grators zurückgeführt. Die eventuell erforderliche Vorzeichen-Ver-
tauschung kann Uber zusätzliche Umkehr-Verstärker vorgenommen
werden.
Am 1. Integretor sind also 3 Eingänge notwendig, damit die rechte
Seite der umgeformten Differentialgleichung erfüllt wird.
Bild 5 zeigt die vollständige Schaltung, mit der eine lineare
Differentialgleichung 2. Ordnung für beliebige Anregungen z
als Funktion der Zeit gelöst werden kann.
Z ) az > = x
&
Bild5. Schaltung zur Lösung einer Diferenzialgleichung 2. Ordnung
Januar 1972 A 1362 - 5.5
Aus folgenden Gleichungen ergeben sich für das betrachtete
System Dümpfungsgrad und Eigenfrequenz des ungedümpften
Systems:
(9)
Dämpfungsgrad D
ul
hol—
°
»
(10)
Eigenfrequenz >,
I
ho
=
=
o
u
>] |
BG o
Die Integratoren sind nach Bild 6 geschaltet, Dabei ergibt
sich eine Zeittransformation, die den Schwingungsvorgang um
den Faktor 1 : 2,2 langsamer verlaufen läßt, als es der
Differentialgleichung entspricht.
| Hour
-—__} |
o—
24 ll
je 220kn. [2
Bild 6: Integrator
Januar 1972 A 1362 - 5,6
P(E)K ELECTRONIC
Aufgabe 1:
Ein Spannungssprung vom Betrag a . z wirkt auf den Eingang des
l. Integrators. Das System folgt am Ausgang x mit einer schwach ge-
dümpften Schwingung entsprechend Bild 7.
(Das Bild ist auf.Seite 7 dargestellt)
Aufgabe 2:
Am Potentiometer für s, kann der Dämpfungsgrad des Systems ver-
ändert werden. s, wird auf 0.1 geündert. Bild 8 zeigt eine Schwingung
die wesentlich weniger gedämpft ist.
(Dos Bild ist auf Seite 7 dargestellt.)
Aufgabe 3:
Am Potentiometer für s_ kann die Eigenfrequenz des Systems geändert
werden, 55 wird auf 0,8 eingestellt, s, wird etenfalls auf 0,6 einge-
stellt. Das System reagiert entsprechend Bild 9 auf eine plötzliche
Anderung der Eingangsspannung mit niedrigerer Eigenfrequenz, gleich-
zeitig mit größerer Dümpfung.
(Das Bild ist auf Seite 7 dargestellt.)
Aufgabe 4:
In der Rückführung für x wird ein Umkehr-Verstärker eingebaut; das
bedeutet, daß die Dümpfung negativ wird.
Schon eine sehr kleine Eingangsspannung bewirkt aufklingende Schwin-
gungen entsprechend Bild 10.
(Das Bild ist auf Seite 8 dargestellt)
Als bemerkenswertes Ergebnis dieser Demonstration wird festgehalten:
Ein mechanisches System kann mit Hilfe des Analogrechners durch ein
elektrisches Analog-Modell dynamisch gleichwertig wiedergegeben werden.
Dynamisch interessant sind bei schwingfühigen System Dümpfungsgrad und
Eigenfrequenz. In der Mechanik sind diese Parameter bestimmt durch Feder-
kraft, Reibung und Masse. Die Analogrechenschaltung gestattet es, diese
Parameter auf einfache Weise zu voriieren. So kann für ein anstehendes
Problem die optimale Dämpfung oder die optimale Eigenfrequenz ermittelt
werden, die dann in der Praxis durch Feder, Masse und Dümpfung zu reali-
sieren sind.
January 1972 A 1362 - 5,7
: Set
=O
0.8; S1=03, Sp=1
0.8; Sy
So
So
So
Bild &
Bild 7:
Bild 9
P- System 2.Ordnung
Januar 1972
Bild 7
Schwingungsvorgang
nach Aufgabe 1
Bild 8
Schwingungsvorgang
nach Aufgabe 2
Bild 9
Schwingungsvorgang
nach Aufgabe 3
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P(E)K ELECTRONIC
SS
Bild 10
Schwingungsvorgang
nach Aufgabe 4
Januar 1972 A 1362 - 5.9
(4) Nachbildung eines Regelkreises
Das besprochene schwingungsfühige schwach gedämpfte System 2. Ordnung
kann als Regelstrecke aufgefaßt werden, an der z eine Störung bewirkt
und x die Regelgröße darstellt, die nach Möglichkeit ausgeregelt werden
soll. Diese Regelstrecke soll im folgenden mit verschiedenen Regelein-
richtungen versehen werden . Als Regler kommen P-Regler, PI-Regler und
PID-Regler in Frage. Auch diese Regler können auf einfache Weise durch
Rechenbausteine realisiert werden.
Dem Regler vorgeschaltet ist ein Differenz-Verstärker, der die Regel-
größe x mit einer FUhrungsgröße w vergleicht und die Regelabweichung x
an den Regler weitergibt.
Ausgang des Reglers ist die Stellgröße y, die der Regelstrecke so zu-
geführt werden muß, daß einer Störgröße entgegengewirkt wird.
Bild 11 zeigt die Schaltung des Gesamt-Systems bestehend aus Regel-
strecke und P-Regeleinrichtung. Der Proportional-Bauwert K,, be-
ziehungsweise die Verstärkung des P-Reglers ist mit einem Botentio-
meter im Bereich 0,1 - 10 einstellbar.
Ww
P—Regeleinrichtung
Yp
10 xy
-y x u 4
Kr Vergleich 4 \X-W
ON
O
Regelsirecke
Bild 11: Regelstrecke und P-Regeleinrichtung
Januar 1972 A 1362 - S.10
P(E)K ELECTRONIC
Aufgabe 5:
Auf den Eingang der Strecke gelangt ein Spannungssprung, dessen
Höhe am Potentiometer für a einstellbar ist. Diese Anregung ver-
anlaBt die Strecke zu einem Einschwingungsvorgang. Der angeschlossene
P-Regler erfaßt die Regelgröße und bekämpft die Störgröße je nach Ein-
stellung des Foktors Ko Das Ergebnis zeigt Bild 12.
In Teilbild a ist der Proportional-Beiwert des Reglers auf K = 0
eingestellt. Das heißt, der Regler ist noch nicht wirksam.
In Teilbild b ist der Proportional-Beiwert auf K_ = 3 eingestellt.
Die Störgröße wird bekümpft und in ihrer endgult?gen Auswirkung
stark vermindert.
Noch günstiger ist das Ergebnis nach Teilbild c.
Der Regler ist auf K_ = 6,2 eingestellt. Die Störgröße wird stark
‚bekämpft und die AbwBichung vom gewünschten Sollwert ist nur noch
sehr klein.
(Bild 12 befindet sich auf Seite 12).
Eine P-Regeleinrichtung kann durch Parallelschaltung eines Differen-
zierenden Netzwerks nach Bild 13 zu einer FD-Regeleinrichtung er-
weitert werden. Die Schaltung des Gesamt-Systems, bestehend aus
Regelstrecke und PD-Regler zeigt Bild 14. Die vom Regler an die
Strecke weitergegebene Stellgröße y ist der Regelabweichung x pro-
portional, und sie ist außerdem der Änderungsgeschwindigkeit der
Regelabweichung proportional.
Folglich greift der Regler besonders dann stark ein, wenn sich die
Regelgröße schnell ändert.
220 kee
PD-Regeleinri:htung
22k
rn
re |
Yb 10Ma
1pE
22kn |
Bild 13 Differenziernetzwerk
Janvar 1972 A 1362 - 5.11
PD -Regeleinrichtung
nach Bild 13
_—
|
.
‘ ® |
Regelstrecke
nach Bild 5
Bild 14 PD-Regeleinrichtung
Aufgabe 6:
Bild 15 zeigt das mit einem PD-Regler erreichte Ergebnis im Ver-
gleich zur Wirkung eines reinen P-Reglers, der auf K_= 3 einge-
stellt ist. Bemerkenswert ist die Dümpfung des Einschwingvorgangs.
Die differenzierende Wirkung des Reglers kann an einem Potentiometer
eingestellt werden. Teilbild (b) zeigt im Vergleich zu Teilbild (a)
eine stürkere Dümpfung der Regelgröße.
(Bild 15 befindet sich auf Seite 13)
Januar 1972 A 1362 - S.12
|
a
oO wo
" " u
a a
x x x |
c 5 3
Bild 12
Regelkreis auf
P-Regler
Jonver 1972 A 1362 - 5.13
—t
la)
(b}
Bild 15
Regelkreis mit
PD-Regler
Januar 1972 A 1362 - 5.14
P(E)K ELECTRONIC
Aufgabe 7:
Ein P-Regler kann durch Parallelschaltung eines Integrators zu
einem PI-Regler erweitert werden. Die Schaltung zeigt Bild 16
220 k S2
22 k$e
’p 10yF
220 kSe
Bild 16: PI-Regeleinrichtung
Die Stellgröße eines PI-Regler setzt sich aus zwei Anteilen zu-
sammen, die getrennt durch Potentiometer und Beschaltung der
Rechenverstärker eingestellt werden können. Der P-Anteil ist
wieder der Regelabweichung proportional; der integrierende An-
teil ist dem Zeitintegral der Regelabweichung proportional.
Damit ändert sich die Stellgröße y des Reglers schnell, wenn
die Regelabweichung x, groß ist; sie ündert sich nicht, wenn
die Regelabweichung Null ist. Bild 17 zeigt die Schaltung des
Regelkreises bestehend aus Regelstrecke und PI-Regeleinrichtung.
PI-Regeleinrichtung Kw
| — nach Bild 16
| ________ _|
: /
|
|
|
zZ
sO} —
Regelstrecke
nach Bild5
|
Lt 6 6
Bild 17: PI- Regeleinrichtung x - Ww
Januar 1972 A 1362 - 5,15
_
|
Das mit einem PI-Regler
erzielte Regelergebnis
geht aus Bild 18 hervor.
Sie zeigt bei dieser Ein-
stellung einen schlecht
gedämpften Regelvorgang.
Die Regelgröße erreicht
aber nach einiger Zeit
den eingestellten Soll-
wert.
Bild 18: Regelkreis mit Pl-Regler
Januar 1972
A 1362 - S.16
P(E)K ELECTRONIC
Aufgabe 8:
Die Vorteile der bisher betrachteten Regler können in einer
PID-Regeleinrichtung nach Bild 19 sinnvoll kombiniert werden.
Die einzelnen Änteile sind für sich einstellbar, sie werden
durch einen Mischverstärker summiert. Die Stellgröße setzt sich
damit aus drei Anteilen zusammen: P-Anteil, I-Anteil, D-Anteil.
220 kn
Bild 19
PID-Regel- 22 kN
einrichtung
10ALF
ve 220 kn
-Y -1 Oo
Yb T _Xw
10MQ
Regie pr
In Bild 20 ist das mit einem PID-Regler erreichbare Regeler-
gebnis dargestellt. Die Regelgröße erreicht nach vorübergehen-
der Abweichung sehr schnell und ohne überzuschwingen den ge-
forderten Sollwert.
Bild 20 Regelkreis mit PID-Regler
Januar 1972 A 1362 - 5.17
Zusammenfassung
Durch sinnvolles Kombinieren der drei Anteile kann die Regelein-
richtung optimal an die zur Verfügung stehende Regelstrecke ange-
paßt werden.
Zusammenfassend kann gesagt werden, daß ein Analogrechner folgende
Vorteile bietet:
1) Er gestattet es, das dynamische Verhalten
einer Regelstrecke im Labor nachzubilden.
2) Dadurch ermöglicht er einen guten Einblick
in die Dynamik der Anlage und den Einfluß
einzelner Parameter der Strecke.
3) Regeleinrichtungen können simuliert werden.
4) Komplette Regelsysteme können simuliert werden.
Debei ergibt sich die Möglichkeit, die Wirkungs-
weise einer kompletten Anlage besser zu durch-
schauen und das dynamische Verhalten zu verstehen.
5) Auf einfache Weise, nümlich durch Ändern von
Potentiometer-Einstellungen, kann ein Regelkreis
optimal eingestellt werden; die günstigste
Regler-Einstellung für ein gegebenes Problem
ist leicht zu finden. Bild 21 zeigt die an
einer Strecke mit verschiedenen Regeleinrich-
tungen erzielten Regelergebnisse nochmals in
einem Diagramm zusammengestellt.
(Bild auf Seite 19)
Januar 1972 A 1362 - 5.18
tert poe eed
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ker
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rt
motes whine
went tence.
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A
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P®k ELECTRONIC
wuualirın
Januar 1972
A 1362 - 5.19