Ermittlung der Kennwerte eines Prozesses mit Hilfe selbsteinstellender Systeme
N
„ EEE <> DATENVERARBEITUNG
wv Analogrechner und Hybride Systeme
7
®
Roland Konkart
Ermittlung der Kennwerte
eines Prozesses
mit Hilfe
selbsteinstellender Systeme
®
INHALT
wo
.2.
„2.
1.
Begriff der Selbsteinsteliung
Prozeßidentifikation nach vier
verschiedenen Verfahren
Gauß-Seidel-Iterationsverfahren
Gradientenverfahren
Iteratives Gradientenverfahren
Kontinuierliches Gradienten-
verfahren
Prozeßidentifikation mit Hilfe
eines Serienmodells
Prozeßidentifikation mit Hilfe
eines Paralleimodells
Beispiel für die Identifikation
eines Systems 2. Ordnung
Identifikation mit Hilfe des Gauß-
Seidel-Iterationsverfahrens
Identifikation mit Hilfe des iterativen
Gradientenverfahrens
Identifikation mit Hilfe der kontinuier-
Gradientenverfahren
Vergleich der Verfahren
Parameterverläufe bei der Identifi-
kation eines Systems 2. Ordnung
PS
en
Schrifttum
BEGRIFF DER SELBSTEINSTELLUNG
Als selbsteinstellend wird ein dynamisches System be-
zeichnet, das mit seinem Eigenverhalten auf ein vorge-
gebenes Verhalten hinsteuert. Ziel der Selbsteinstellung
(Adaptierung) ist es, das vorgegebene Verhalten genau
oder in irgend einem Sinne optimal zu erreichen. Ein
System gilt dann als optimal, wenn eine vorher gewähl-
te Zielfunktion Z in Abhängigkeit von den veränderbaren
Parametern a (mit a = a,...a,) des Systems ein Extre-
mum annimmt,
Z (a) = Extremum !
PROZESSIDENTIFIKATION w
NACH VIER VERSCHIEDENEN VERFAHREN
Hier soll nun gezeigt werden, wie bei vier verschiedenen
Verfahren die Kennwerte a (mit a = ay... a,) eines Pro-
zesses mit Hilfe von Modellen gewonnen werden können.
Das Problem läßt sich dabei folgendermaßen formulieren:
In der den Prozeß beschreibenden Differentialgleichung
(n) (n-1) ' =
aly +a y t+... tay + ayy x (t)
1
+... + +a
ap a,P re)
sollen die Koeffizienten a aus den gemessenen Signalen x
und y bestimmt werden. Es wird dabei ein Modell, das der
Struktur des Prozesses entspricht, mit der Ubertragungs -
funktion
ap +... a,pta
so abgeglichen, daß im abgeglichenen Zustand & = a wird.
Für den Abgleich des Modells wird eine Zielfunktion, die z.B.
der Mittelwert des Quadrates der Abweichung e sein kann,
zum Minimum gemacht (Bild 1).
2.1.
Gauß-Seidel-
Iterationsverfahren
2.2.
Gradientenverfahren
2
Z (a, t) = fe (x, t) dt = Min!
Prozeß y
P (a)
x ’ e e? 1 2
+ P —»
Modell Ym
M(t
Bild 1: Prinzipieller Systemaufbau für die Ermittlung der
Prozessparameter mit Hilfe eines Paralle!-Modells
Das Gauß-Seidel-Iterationsverfahren arbeitet bei der Pro-
zeßidentifizierung mit einem Systemaufbau nach Bild 1. Von
den verstellbaren Modellparametern a wird bei repetierend
deterministischer Anregung jeweils nur ein Parameter a;
um den Wert A so lange variiert, bis
© 2 .
Z (a) = fe (a, t) dt aj = const. ; j # i
minimal ist. Es ist also:
mit m = Anzahl der Variationsschritte. So wird iterativ die
Zielfunktion für jeden Parameter qa; in ein relatives Minimum
gebracht.
Damit erhält man mit jedem Iterationsschritt eine immer bes-
sere Approximation von «aj.
Beim Gradientenverfahren werden die veränderbaren Parameter
a eines Systems so verstellt, dak die Zielfunktion
Z = Z {a)
entlang des Gradienten von Z nach a zum Minimum gemacht wird.
Eine notwendige Bedingung fiir das Erreichen des Minimums e
ist, daß der Gradient der Zielfunktion beim Erreichen der '
optimalen Parameter verschwindet.
grad Z (a) = 0
Fiir einen Parameter ergibt sich die Ableitung zu
azZ_ a
da, da % (a,)
a 2
mit zZ = fe dt
oo
wird 22. g„ Fett &
da; 0 da,
@ wird nun um Aq proportional zum Gradienten verstellt
Aa =-h grad Z
Fiir einen Parameter gilt dann entsprechend:
. . nh aZ
Damit wird Zlatha) = Z-hes
a Oa;
i=1 1
Es ist dann Z(ataa)=Z (a)
Wenn die Ableitungen nicht nachbildbar oder zu-
gänglich sind,
dann kann so iterativ ein immer optimaleres a bestimmt
werden,
Sind jedoch die Ableitungen
oa zugänglich, dann kann
oA kontinuierlich um da; verstellt werden, so daß sich die
optimalen Parameter als Summen aller Verstellungen er-
geben.
OZ - © de
2c = .—_ —__- .-2-h _—_
ea a; h da, a; S e de, dt
2.2.1.
Iteratives Gra-
dientenverfahren
2.2.2,
Kontinuierliche
Gradientenverfahren
2.2.2.1.
ProzeßRidentifikation
mit Hilfe eines
Serienmodells
Wie das Gauß-Seidel-Iterationsverfahren arbeitet auch das
iterative Gradientenverfahren mit einem Systemaufbau nach
Bild 1. Der Gradient von Z nach a muß iterativ mit Hilfe
deterministischer Testsignale bestimmt werden.
Jeder Parameter a; wird um einen festen Schritt A verstellt
und die Wirkung dieser Verstellung auf die Zielfunktion aus-
gewertet. Danach wird a; um A wieder zurückgesetzt. Aus
der Wirkung der Testverstellung auf die Zielfunktion ergibt
sich die notwendige Verstellung Aq für @,mit der a besser
approximiert wird für einen Parameter zu
Bei den kontinuierlichen Gradientenverfahren kann auf deter-
ministische Testsignale verzichtet werden, da hier der Gra-
dient der Zielfunktion nach den verstellbaren Parametern
stetig zur Verfügung steht und nicht iterativ gebildet werden
muß.
Die Ableitung
muß jetzt für jeden verstellbaren Parameter nachgebildet
werden. Dafür ergeben sich nun für das hier formulierte
Problem zwei unterschiedliche Systemanordnungen, die in
den beiden folgenden Abschnitten beschrieben werden.
Bei diesem Identifikationsverfahren wird dem Prozeß mit
der Übertragungsfunktion
1
+ +
ap tr... ap ta,
ein Modell mit der Ubertragungsfunktion
+
a je) Lo
bop + eee. +b,p+b,
in Serie geschaltet und dieses Gesamtsystem mit einem Pa-
ralleimodell mit der Übertragungsfunktion
Y
1
NM = m =
p X n +
bp +... b,p DB,
verglichen (Bild 2).
Die veränderbaren Parameter des Systems werden so nach der ¢
Gradientenmethode verstellt, daß die Zielfunktion
minimisiert wird. Im abgeglichenen Zustand kompensiert dann
„der Zähler des Modells den Nenner des Prozesses. Es ist dann
Prozeß Y
Ys
P (a) Ms (#)
o> 6
Bild 2: Prinzip der Prozessidentifikation mit Hilfe eines Serien-
modells
Die zur selbsttätigen Ausführung dieses Abgleiches benötigten
Ableitungen
@
N
it
iw)
On8
oO
oO
-e dt
CH
R
ne
~
R
sind ohne Mehraufwand direkt dem Modell! zu entnehmen (Bild 3).
i =X. . -
Mit 5 M (P M, (a) My)
wird
ae .a¥g _ a
II =2's = x.p. M
da, aaj x7 P xed s (2)
©
a Ys_
ay
9%
b,
(bo)
QW)
Bild 3: Rechenschaltung für das Serienmodell mit den
Ableitungen gY<5
9X;
Nach Einsetzen der Übertragungsfunktion wird dann
aY 1 p
aa. n " n
tr... + b +...+r +
i ap a,p a, nP b,p bo
Damit erhält man für den Parameter
In Bild 4 ist diese Gleichung als Rechenschaltung dar-
gestellt.
Ys
2.2.2.2.
Prozefidentifikation
mit Hilfe eines
Parallelmodells
e ——
Oy
aye x“
u on,
e
On-1
a | *
9-1
Bild 4: Rechenschaltung für die Ermittlung der Parameter
Für die Identifikation eines Prozesses mit der Übertragungs-
funktion
a +... ta +a
n® P fe)
wird bei diesem Verfahren ein Parallelmodell (Bild 1) mit
der Übertragungsfunktion
Yin 1
M ===
xX n
a p von. FP Fo
nach der Gradientenmethode so abgeglichen, daß die Ziel-
funktion
dt
N
1
o—g
oO
zum Minimum wird. Die für den Abgleich benötigten Ablei-
tungen stehen bei diesem Modell nicht direkt zur Verfügung,
sondern müssen erst erzeugt werden (Bild 5).
I
30 M (a)
Ableitungen
m Ym Yn
dc, dan Bb tig
Bild 5: Rechenschaltung des Parallelmodells und der
Bildung der Ableitungen
8 Y m
da.
i
- ©
Es ist az = 9f Xf e dt
aa. oad,
i i
mit e=y-Y =X(P-M)
wird ae __ 2 Ym = .x2 M (a)
oa. aa. okey
i i
und damit ergibt sich dann
i
8Y in _ >
oa. n
+... +
i (oP a,P a.)
Mit diesen Ableitungen werden nun wieder die Para-
meter
o 9%
a,.ı= 0, - 2hy- fe —~—adt
i ° Oa;
wie in Kap. 2.2.2.1. mit der Rechenschaltung nach
Bild 4 bestimmt.
10
BEISPIEL FUR DIE IDENTIFIKATION DER PARAMETER 6
EINES SYSTEMS 2. ORDNUNG
u
Am Beispiel der Identifikation eines Prozesses mit der
Übertragungsfunktion
1 1
P = < = 5 = 5
p tayptit+a p +0,5p+1+0,5
soll nun gezeigt werden, wie die unter Kap. 2 beschriebenen 6
Verfahren auf dem hybriden Analogrechner zu realisieren sind,
Bild 6 zeigt die Rechenschaltung und Bild 7 das Übertragungs-
verhalten des zu identifizierenden Prozesses
5
1
Bild 6: Rechenschaltung des zu identifizierenden Prozesses ®
Ya
Vv
Bild 7: Sprungantwort des zu identifizierenden Prozesses
3.1.
Identifikation mit Hilfe
des Gauß-Seidel-
Iterationsverfahrens
Bei der Ermittlung der Parameter «, und a, mit Hilfe des
in Kapitel 2.1 beschriebenen Gauß-Seidel-Iterationsverfahrens
ergibt sich folgendes Vorgehen (Bild 8).
Der Parameter aj wird so lange um den Wert A verstellt,
bis die Differenz AZ= Z{(w, aj + (m- 1): AY-Zfa,aj+m- A}
negativ wird. Ein negatives 4Z bedeutet, die Verstellung des
Parameters um den Wert A bringt eine schlechtere Approxima-
tion für den gesuchten Parameter aj. Das kann zwei Ursachen
haben:
1. Die Verstellung von a; um den Wert A wurde in ver-
kehrter Richtung vorgenommen. Es ergibt sich in die-
sem Fall ein negatives A Z schon beim ersten Approxi-
mationsschritt. Die Verstellung muß dann in anderer
Richtung vorgenommen werden, um eine bessere Ap-
proximation von qj an aj zu erreichen.
2. Der Parameter a; kann durch den Parameter aj; nicht
mehr besser approximiert werden. Die letzte Verstel-
lung um den Wert A wird wieder rückgängig gemacht
und der nächste Parameter aj+ , wird variiert.
Welche der beiden möglichen Ursachen ein AZ <0 geliefert
hat, wird von einem Zähler indikiert, der mit jeder beginnen-
den Parametervariation auf Null gesetzt wird, und der dann die
Anzahl m der Verstellungen des Parameters aj um den Wert A
zählt. Dieser Zähler verhindert (m#2) bzw. ermöglicht (m> 2)
ein Weiterschalten auf den nächsten Parameter. Da hier nur
die Entscheidung m > 2 getroffen wird, genügt ein Flipflop Z
(Bild 10), um den Zähler zu realisieren.
Bild 8 und 9 zeigen die grundsätzliche Wirkungsweise des
Verfahrens. Bild 10 zeigt die Rechenschaltung, mit der das
Verfahren auf einem hybriden Analogrechner (RA 770 bzw.
RA 800 H) realisiert wurde,
11
| Anfangswerte
:=0
— lo 4 —
ii
et m:=1
M2 =A +A
m :=m+1
a :=a,—-A
m:i=m+t+i
a 2 =A%—-A a;
[= +A
m =m+1
m:i=m+1
Bild 8: Flußdiagramm für die Ermittlung der Parameter a
und ay eines Systems
2. Ordnung mit dem Gauß-Seidel-Iterationsverfahren
Prozeß
> 1
p’+ apt 1 + ao
y Bildung der Az
£ Zeitfunktion 42 (a) — 2 (a;+ A)W_S
_ Z = fe’dt
y,
Modell ™
>» 1
pP+ ap + 1+ a
Speicher fiir
Q@ und a, I
fh für a fh für a, .
Steuer-Logik
9 .
Umschaltung u —— | AZ
von do <— a,
[a
Vorz. von A Zeitgeber Takt
fs
Steuerbedingungen für die einzelnen Operationen
1. Vorzeichenwechsel von A
Vorzeichen wechselt, wenn AZ <0
2. Umschaltung von a, auf a1 bzw. umgekehrt
Umschaltung, wenn AZ <0 und die Anzahl der
Verstellungen um A > 2. Bei der Umschaltung wer-
den beide Parameter verstellt.
on
Bild 9: Blockdarstellung zur Ermittlung der Parameter
eines Systems 2, Ordnung nach dem Gauß-Seidel-
Iterationsverfahren.
13
Prozeß
- 1
| pita,ptT tag
vl 2 z Z (a;+A)
Ymi7
Modell M
D—X\s >
Z (a)
L_ er
p
y ra
x a f ’ Vorz. von A
™ =
TRE Te (en
T m Tre
( 2G2
Sun
=
261 2ZG2
2 prüft, ob Anzahl m der Parameterverstellungen
umA=s2
m > 2 Parameterwechsel a, = &,
m <2 Verbleiben auf Parameter a;
Zeitdiagramm der Zeitgeber
Pausentaste
gedrückt > At Pause Rechnen Halt
p 1
oe — — —
ZG1 |
Ir uud —- — — — —_ —_. 1 ______ 4
1
ZG2
Oh} — ~~ — 4} —~— — ——. - ef _________
1
ZG3 oh LE
Bild 10: Rechenschaltung zur Ermittlung der Parameter eines Systems
2. Ordnung nach dem Gauß-Seidel-Iterationsverfahren.
3,2
Identifikation mit Hilfe
des iterativen Gradienten-
verfahrens
Bei der Ermittlung der Parameter eines Systems 2, Ordnung
mit Hilfe des in Kapitel 2.2.1 beschriebenen iterativen Gra-
dientenverfahrens wird eine Steuerung benötigt, die folgendes
leisten muß (Bild 11):
1,
Der Anfangswert der Zielfunktion Z (aw) muß gespei-
chert werden, damit die Wirkung der Verstellung der
Parameter ao und @ı um den Testschritt a auf die
Zielfunktion festgestellt werden kann. Es wird dabei
Z (we) f Anfangswert? mit Z (a, a; + A) verglichen
(mit i = 0,1).
Aus der Differenz Z (a) - Z(a, wj1 + A) muß ein A a;
gebildet und abgespeichert werden,
Ae; =h {Z(a)- Zl(a,ayta) } sh-aZ;
Nach Ausführung der beiden Testschritte für die Para-
meter aw, und a; müssen diese um die Werte aa. bzw.
Aa , verstellt werden,
Aoi "ao t AWG
u
a1? a, Ft Ay
Mit diesen Werten ergibt sich der neue Anfangswert
für die Zielfunktion zu
Z (a): = Z(atAo)
Dieses Vorgehen muß so oft wiederholt werden, bis
Z (a) = Min geworden ist.
Bild 11 und 12 zeigen die Wirkungsweise dieses Ver-
fahrens.
Bild 13° zeigt die Rechenschaltung, die auf einem hy-
briden Analogrechner (RA 770 bzw. RA 800 H) realisiert
wurde.
zn,
15
16
Bild 11:
Q = Anfangswert
a, = Anfangswert
Aa =0
Aa, =0
i=0
¥
Ay > =A + Aay
a 2 =a; + Aa, OM > =AgtA a :=0, +A
a =
-Z(agt+A,a, ) -Z(a)o,0,+A
v 2
Z (a): = fe? dt Ady :=h' Za), Ay, :=hZ(a),
” v
&g := 09 —A a :=a,—A
v v
i:=1 i:=2 i:=0
bs
Flußdiagramm für die Ermittlung der Parameter a
eines Systems 2. Ordnung mit dem iterativen Gradienten-
verfahren,
und ay
Prozeß y
1
p+ap+1 +a
Bildung der
Z az
i i Aq =-h —
Zielfunktion i Ep
Aa;
Modell
jt
p?+a,pt1+ a
fe. f
Speicher für 4
& und a
Aap = MAa, Steuerlogik
bzw. bzw.
A A
|
Aa $4 A
i d
ppeichern er Vorzeichen
Aa; =-h 22 von A Zeitgeber Takt
' dc;
4a; Testschritt A
Die Verstellung der Modellparameter wird nach folgendem Schema
vorgenommen:
1, %, um A verstellen
2. AY, =-h 2 ch { Z(ao, a1) -Z (agta, a1) } abspeichern
o
3. ® 5 um A wieder zurücksetzen und «| um A verstellen
4, Aa, ="h{Z (ag, aı)- Z (aq, aı + A) }
5. a, um A wieder zurücksetzen und a. um A ao und a, um
Aw 1 verstellen
6. Vorgang 1-5 so oft wiederholen, bis Z = Min.
je
Bild 12: Blockdarstellung zur Ermittlung der Parameter
eines Systems 2, Ordnung nach dem iterativen
Gradientenverfahren.
17
ZG2
Prozeß
x 1
P==—_——
P’+ta,pt1i+a,
Yo ie
e e? z
m :
Modell M (a) LP Ba
y : |
x Oy r a h
h
J L
x y 8 zcı | se +
h . Lt. 1
Testschritt-
; h größe
Vorzeich.
vonA
2G2 2 1 TT
Z6G1 262
0
2G3
Parameterzahler i
2G1 Z
° oo
IL ih
2
Zp |
Zeitdiagramm der Zeitgeber
Pausentaste A
gedrückt > t Pause Rechnen Halt
1
p o-____
1
ZG1 0-—_—____ ——— J
1
262 o-—-____ ~|—-— —— I _____JS
1
263 oL____ —j— — et
Bild 13: Rechenschaltung zur Ermittlung der Parameter eines systems
18
2. Ordnung nach dem iterativen Gradientenverfahren
3.3.
Identifikation mit Hilfe
der kontinuierlichen
Gradientenverfahren
Die in Kapitel 2.2.2 beschriebenen kontinuierlichen Gradienten-
verfahren benötigen für die Identifikation der Parameter a ei-
nes Systems keine Steuerung des Abgleichvorganges, da die für
den Abgleich benötigten Ableitungen
ao
aay
nicht iterativ gebildet werden müssen, sondern kontinuierlich
zur Verfügung stehen,
Mit diesen Ableitungen kann die Gleichung
oo
3
apis ai-2hy- SI edt (mit i = 0,1)
i
direkt modelliert werden. In einer Regelschleife stellen sich
dann die Modellparameter «a auf die zu identifizierenden System-
parameter a ein. Für das hier zu identifizierende System
2. Ordnung mit den Parametern a, und a, müssen demnach
zwei Regelschleifen modelliert werden.
Die Abgleichgeschwindigkeit hängt bei diesen Verfahren von
dem Proportionalitätsfaktor h, ab.
Bei der Identifizierung mit Hilfe des Serienmodelis (Kapitel
2.2.2.1 und Bild 14 und 15) kann das h; sehr groß gewählt
werden, da eine Veränderung der Parameter a; sich direkt
(ohne Verzögerung) auf die Abweichung e auswirkt. Die Regel-
schleifen, in denen die Parameter a abgeglichen werden,sind
theoretisch für alle Kreisverstärkungen (h;) stabil.
Bei der Identifikation mit Hilfe des Parallelmodells (Kapitel
2.2.2.2 und Bild 16 und 17) kann das h, nicht so groß gewählt
werden, da sich hier eine Parameterveränderung nicht direkt
auf die Abweichung e auswirkt, sondern erst nach einer system-
bedingten Verzögerung (Verzögerungen des zu identifizierenden
Systems bzw. des Modells, das das System approximiert. Bis
zu welchen Kreisverstärkungen (h;) die Regelschleifen für den
Abgleich der Parameter aj stabil sind, hängt von der Ordnung
des zu identifizierenden Systems, von den Werten der System-
parameter a und von den Startwerten der Modellparameter a;
ab.
19
| Modell
1
Ma———
| P bop? +bip+1 Ym
j :
ProzeR Serienmodell Parameter-
x 1 Y 1 + e
M P| erkennungs-
P= s
p? +aıp+1+ao b,p? +bıp+1 % schaltung
| Parameter a
Bild 14: Blockdarstellung zur Ermittlung der Parameter eines Systems 2. Ordnung
nach dem Gradientenverfahren mit Hilfe eines Serienmodells,
Modell Mp (b)
—~©-
~slp4p
Ym
Serienmodell Mg (d)
6; AY
ay, £
da,
Prozeß a *
x a 1 y
2 4 +1+ x
p’taip ag aY, | Xo
(6. duo Y
x
aY,
0,
- a
x
9%
da,
Bild 15: Rechenschaltung zur Ermittlung der Parameter eines Systems 2. Ordnung nach
dem Gradientenverfahren (Serienmodell),
20
N
Prozeß Parameter-
x y+ e a
1 > erkennungs-
Pas schaltung
p?+a,p+1+0 _
¥,
m dYm
aq;
Modell Ableitungen nf
P+a,p+1+0g pPr+ap+ir@
Parameter @ t
Bild 16: Blockdarstellung zur Ermittlung der Parameter eines
Systems 2. Ordnung nach dem Gradientenverfahren mit
Hilfe eines Parallelmodells,
Prozeß
x 1 Y + e Oy
© m
dm
dq, Im
Io
x
a a
Modell Ableitungen 3m
da
see
Bild 17: Rechenschaltung zur Ermittlung der Parameter eines
Systems 2, Ordnung nach dem Gradientenverfahren
® (Parallelmodell)
VERGLEICH DER VERFAHREN ¢
um eine vergleichende Aussage über die vier Verfahren
machen zu können, wurde ein Prozeß zweiter Ordnung von
allen Verfahren gleichzeitig identifiziert. Der Prozeß wurde
dabei mit einer repetierenden Sprungfunktion angeregt.
Am schnellsten identifiziert wurde der Prozeß von dem
kontinuierlichen Gradientenverfahren mit Hilfe des Serien-
modells (Parameterverläufe a in Kapitel 5). Nach drei An-
regungssprüngen waren die Parameter a, und a, des Pro-
zesses mit einem Fehler <1% ermittelt. Der ermittelte
Wert wurde bei allen folgenden Anregungssprüngen beibe-
halten (kein Schwanken der Parameter um den ermittelten (
Wert).
Nur durch die Geschwindigkeit bei der Identifizierung unter-
scheidet sich das Parallelmodell vom Serienmodell in der
Identifikation eines Prozesses nach dem kontinuierlichen Gra-
dientenverfahren, Die Identifikation ist erst nach sieben An-
regungssprüngen abgeschlossen (Parameterverläufe b.Kap. 5).
Die beiden iterativen Identifikationsverfahren arbeiten sehr
viel langsamer. Die Geschwindigkeit der Parameteridentifi-
zierung hängt hier vom Startwert und von der Schrittweite
(Gauß-Seidel-Iterationsverfahren) bzw. von der Testschritt-
weite und dem Bewertungsfaktor h (iteratives Gradientenver-
fahren) ab. Je näher der Startwert am gesuchten Wert liegt,
und je größer die Schrittweite bzw. die Testschrittweite ist,
desto schneller verläuft die Identifikation, Der Approxima-
tionsfehler beträgt ca. 10%. Bei einer kleinen Schrittweite
bzw. Testschrittweite wird der wahre Wert nicht genauer
ermittelt,und bei großer Schrittweite schwanken die Parame-
ter mit diesem Fehler im Bereich des wahren Wertes. (
Bei einer Testschrittweite A = 0,02 für @o. und A = 0,02- 107°
für «| brauchte das iterative Gradientenverfahren ca. 60 An-
regungssprünge, um die Parameter des Prozesses mit ca.
10% Fehler zu identifizieren (Parameterverläufe c, Kap. 5,
Bild 18, 19). Bei einer Testschrittweite A = 0,03 für ag und
0,03-10-% für #1 wurden nur noch ca. 35 Anregungssprünge
für die Identifizierung bei gleichem Fehler benötigt (Parame-
terverläufe c, Kap. 5, Bild 20 und 21).
Das Gauß-Seidel-Iterationsverfahren brauchte bei einer
Schrittweite A = 0,02 für aq und j= 0,03. 10°? für oy
ca. 30 Anregungssprünge, um die Prozeßparamater mit ei-
nem Fehler von ca. 10% zu ermitteln (Parameterverlauf d,
Kap. 5, Bild 18 und 19). Bei einer Schrittweite 4 = 0,03
für @, und A= 0,03 - 10°“ für ay wurden nur noch ca. 25
Anregungssprünge für die Identifikation bei gleichem Fehler
benötigt (Parameterverläufe d, Kap. 5, Bild 20 und 21).
PARAMETERVERLAUFE BEI DER IDENTIFIKATION EINES
SYSTEMS 2. ORDNUNG
Für ein Beispiel soll hier der Verlauf der Parameter
@=a(t) und a, über a,
oO
gezeigt werden. Zu identifizieren sind die Prozeßparameter
a mit den Werten
2
ag = 0,5 und a, = 0,510
ie)
Die Buchstaben an den Parameterverläufen geben das Identi-
fikationsverfahren an.
Es bedeuten:
= stetiges Gradientenverfahren (Serienmodell)
stetiges Gradientenverfahren (Parallelmodell)
= iteratives Gradientenverfahren
= Gauß-Seidel-Iterationsverfahren
om m
"
23
Op &
0,6.
0,5-
0,44
0,3-
0,2-
0,14
richtiger Wert a = 0,5 k
10 20 30 40 50 t/s
0,644 b
0,54
a
0,44
d (
0,34
0,2-
richtiger Wert a, =0,5 10°?
0,14
T T T T >
10 20 30 40 50 t/s
Bi:d 18: Parameterverläufe w = a (t) bei der Identifikation eines Systems 2, Ordnung
24
a
(für iterative Verfahren: a = 0,02 für @o und a= 0,02 -1072 für a)
a:
0,6-
richtiger Wert
0,5 4
0,44
0,34
0,24
0,14
I I I qT qT I >
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 10 a
Bild 19: Parameterverläufe a, über aw, bei der Identifikation eines Systems
2. Ordnung (für iterative Verfahren: Schrittweite qa wie bei Bild 18)
25
26
richtiger Wert a, - 0,5
0,2-
0,1-
T T T T >
10 30 40
a
richtiger Wert a, - 0,5:10°2
T T T T >
10 20 30 40
Bild 20: Parameterverläufe a = « (t) bei der Identifikation eines Systems 9
2, Ordnung (fiir iterative Verfahren: ı = 0,03 für @, und A = 0,03:°10
fiir a)
ay &
0,6-
richtiger Wert
0,5-
04-
0,3-
02-
0,1-
0,1 0,2 0,3 0,4 05 0,6 a, 10”
Bild 21: Parameterverläufe a, über a1 bei der Identifikation eines Systems
2. Ordnung (für iterative Verfahren: Schrittweite wie bei Bild 20)
27
[1] Kramer, H.:
[ 2 ] Albrecht, P,
und Lotz, H.:
[ 3 ] Marsik, 1.:
[4 ] Rake, H.:
28
SCHRIFTTUM 6
»*Öptimierung eines Regelkreises mit Tischanalogrechner und
Digitalzusatz
Sonderdruck elektronische Datenverarbeitung 1968/6
Seite 293-297
Die Verwendung der Hybriden Präzisionsrechenanlage RA 770 ‘
zur automatischen Parameteroptimierung nach dem Gradien-
tenverfahren
Technische Mitteilungen AEG-TELEFUNKEN
5. Beiheft Seite 41-43
Versuche mit einem selbsteinstellenden Modell zur automati-
schen Kennwertermittlung von Regelstrecken m r s 9 1966
H.6 Seite 210-213
Selbsteinstellende Systeme nach dem Gradientenverfahren
Regelungstechnik H.5 1967 Seite 211-217