Analog Computers

Reference / Paper · 1963

Anwendungsbeispiele für Analogrechner: Beispiel 4 — Erwärmung eines Kabels (Wärmeleitung)

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Example 4 in Telefunken's 'Application Examples for Analog Computers' series, dated 15 October 1963. It demonstrates how to simulate radial heat conduction in cylindrical cable insulation on an analog computer: the partial differential equation is reduced to a system of eight coupled ordinary differential equations via finite differences (five radial steps), normalized, mapped to a chain of potentiometer-fed integrators, and solved. Results are presented as time-domain temperature curves at each radial node and as spatial temperature profiles at fixed times.

Manufacturer
Telefunken
Year
1963
Type
Reference / Paper
Language
German
Learning track
specific applications
Pages
8
  • Telefunken
  • heat conduction
  • partial differential equations
  • finite difference method
  • analog computer programming

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Anwendungsbeispiele für Analogrechner: Beispiel 4 — Erwärmung eines Kabels (Wärmeleitung)

Anwendungsbeispiele fiir Analogrechner Beispiel 4 15. Oktober 1963 WARMELEITUNG 1. Aufgabenstellung Es soll der Erwärmungsvorgang in einem Kabel untersucht werden. Der Leite- (r < ro) wirkt als zylindrische Wärmequelle mit konstanter Temperatur. Die Umhüllung sei zu Anfang kalt. Gefragt ist die Temperaturverteilung im Isoliermaterial in Abhängigkeit von der Zeit und vom Ort (Bild 1). AH/It 1064 Bild 1 Querschnitt durch ein Rohr mit zylindrischer Wärmequelle u = Übertemperatur, r = Radius 2. Gleichungen Q) wi — | 4 Er = alr) (a3 + ar [+ >} 8 A r ct Randbedingungen: Ug für r< To u(r,t) = (3) QO fürr=R Herausgeber: TELEFUNKEN Aktiengesellschoft - Fachbereich Anlogen Hochfrequenz - Fachgebiet Informationstechnik Elektronische Rechenanicgen - 775 Konstenz/Bodensee Nachdruck und Vervielfältigung, auch auszugsweise, bedürfen unserer Zustimmung % fiir r <ro Anfangsbedingungen: u(r,0) = (3) O0 fiir r> ro Die Wandstärke des Rohres R - 9 wird in äquidistante Schritte Ar aufgeteilt. Die Differentialquotienten werden durch Differenzenquotienten angenthert: [1] 1 [2] au | Mor sit Bint (4) ® ar ~ Od 2Ar FRE GE der BE 32 ane (5) 1. 1 ro rg + iAr (6) Dadurch erhält man aus der partiellen Differentialgleichung ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen: au a | Ik eu, + Uy , 1 Maat 7 Fin © at” % (Ar)? roriär ’ 2Ar (7) mit den Anfangswerten Up = const. Beispiel 4 u, 3. Normierung Mit den normierten Größen U, = 4 , t= Xt (9) und der Teilung der Wandstärke in 5 Schritte r ergibt sich die Maschinengleichung: aU, a i 1 1 = A. (Ar)? Urs (eg) ~ rl, (1 rer) | (10) Unter der Voraussetzung konstanter Werte a, =a setzt man den Zeitmaßstab cm zweck- mäßigsten so fest, daß der Faktor 2. = 0,5 wird. 2 ‘A. (Ar) Dadurch werden Potentiometer gespart. Die Konstante a könnte aber auch ebensogut eine Funktion des Ortes sein. Das Gleichungssystem lautet nun: Uy = 1 u = "/12 Uy - U, + 7/12 Uy U, =79/16 U,+U,- 16 0, Us = "1/20 u, - Uz + 9/20 U, “ss Ds a — Beispiel 4 ~3- Beispiel 4 4. Rechenschaltung | he ©) "is 72I®) © She "/2O U4 13/2 OC) Of {\_ “nl t Cc uw 15 joe © QO" I» Us —_ —_ 17 /ag © O 17/32 1 -U 1 7 [AH7it 1065 Bild 2 Rechenschaltung zur Lösung des Gleichungssystems Gl. (11) Beispiel 4 5. Ergebnisse ~ x | 3 ' 8, sıq 0, ua]]a4S Uap UD unjosadway sap „npjJoA Aaay2ı!9Z EPG bsp RAT EITTEUITZ 1 #— oY o€ 02 ol 0 L | L I 0 so (2)!n | L So m=15190 = 1 ! Fran arg? us1187 uaywwıısaq nz ınınladwaı ap INDIA JBYDI|HO py PI! "7901 7 HY) L 8, L, 9 5, 2 gy zy J J 0 Beispiel 4 Aus den Funktionen U.(t ) mit r als Parameter (Bild 3) kann man die Funktion un mit tT als Parameter graphisch ermitteln (Bild 4). Literatur: [1] L. Collatz, Numerische Behandlung von Differentialgleichungen, Springer-Verlag 1951 [2] W. Giloi und R. Lauber, Analogrechnen, Springer-Verlag 1963 -8- Beispiel 4 eT ac