Die Differentialgleichung und ihre Lösung mit den Operationsverstärkern; Grundlagen einfacher Regeleinrichtungen
P(E)K ELECTRONIC
Die Differentialgleichung und ihre Lésung mit
eS m
Die in den nachstehenden Blättern L 1112, S. 1 bis S.8
gebrachten Ausführungen Uber die Lösung von Differential-
gleichungen mit dem Operationsverstärker sind einem Hand-
buch "Grundlagen der Schaltungstechnik von Operationsver-
stürkern" (Bestell Nr. 39511.1) nach einem Kurs der
"eyro-instronics" entnommen.
Da diese Abhandlungen insbesondere dann sinnvoll sind,
wenn man mit Analog-Rechnern noch nicht viel gearbeitet
hat, sind sie in dieses Handbuch übernommen worden.
Es handelt sich nicht um eine Versuchsanleitung. Die an-
gegebenen Werte für Bauelemente sind daher nur zum Rech-
nen bestimmt und sind nicht im Liefersortiment von Typ
38500 enthalten.
Es sind gegenüber der Darstellung im vorliegenden Hand-
buch kleine Abweichungen zu verzeichnen, insbesondere
die Kennzeichnung der Umkehrung der Integrierer durch das
Vorzeichen "-" bei der Angabe der Konstante. Normen sind
hier international noch nicht vorhanden.
Wichtig sind auch die Abhandlungen Uber Zeittransformation,
die in dem vorliegenden Handbuch an anderere Stelle nicht
gebracht sind.
Januar 1972 L 1112.1- 5.1
f’
P(E)K ELECTRONIC
Die Differentialgleichung und ihre Lösung mit dem
Operationsverstärker
1. Allgemeines
Physikalische Vorgänge lassen sich durch Verwendung von
Differentialgleichungen allgemein gultig darstellen und
lösen. Dabei sind Anfongs- und Endbedingungen, also die
Grenzen, bei der Rechnung zu berücksichtigen.
Zum Beispiel: Es ist R = f (U) eines Widerstandes
zu messen, dies geschieht aber in den
Grenzen von U = 1 V bis 5 V.
Das Lösen von Differential-Gleichungen erfolgt mathematisch
durch bekannte mehr oder weniger komplizierte Methoden. Durch
Umsetzen der Zahlenwerte in Spannungen läßt sich auf elektro-
nische Wege, z.B. mit Hilfe eines Integrationsnetzwerkes, eben-
falls eine Lösung erreichen. Die Lösung der Aufgaben erfolgt
im Analog-Rechner oder im Analogteil eines Hybrid-Rechners.
2. Die Integration allgemein
Die mathematisch-elektronische Lösung erfolgt in einer
Schaltung nach Bild ]
Bild 1: Der Integrator allgemein
(b) i =i =
=U. weil iO ist (Eigenschaft eines guten 0.-V.)
Setzt man (b) in (a) ein, so ist:
web fe a)
a C, Ry
Da R, eine konstante oder auch erfaßbare Größe ist, kann Ry
vor das Integrationszeichen gesetzt werden.
1
v= Rc, u dt (d)
Daraus ergibt sich: = ist die Integrationskonstante,
7°71
wird auch mit k bezeichnet. Ry -C, entspricht einer Zeit.
Januar 1972 L 1112 - 5.1
3. Die Realisierung der Integration mit einem Operationsverstürker
Bild 2 zeigt die Scholtung mit 0.-V. und Bauteilen.
Cy = 10 pF
Ry =10ke
Bild 2: Aufbau eines Umkehrintegrators
mit einem Oprationsverstirker
Integrationskonstante k = on ; R, = 10* Ohm, C, = 10°F
Ry . C, 1 1
k = — = = tet. t0 67!
10° Ohm * 10°~ F 107
‘(Einheitenbeziehung: Ohm . F = s)
o——_4-10
Ue Ya
i i
Bild 3: Symbol des Integrators
aus Bild 2
Die Integrationskonstante k wird in das Symbol (ohne Einheit)
eingetragen; liegt ein Umkehrintegrator vor, dann wird ein
Minuszeichen vor dem k geschrieben (Bild 2),
Januar 1972 11112 - S. 2
P(E)K ELECTRONIC
1. Mehrfachintegration mit Operationsverstärkern
Es soll hier anhand einer Doppelintegration der Aufbau und
deren mathematische Zerlegung gezeigt werden (Bild 4 und
Bild 5).
—————n
z.B. u: 5. =5-// u. dt = 5 / u,dt [u.gt
o—1 5 1 Bild 4: Schematischer Auf-
bau einer Doppel-
ue ug integration
I 1
» =
Cy Ry Cr Ry!
I v
.—_ +» _1_.
1075-104 1075.10 5
j N
0,5.(-10)=-5 -
Bild 5: Aufbau einer Doppelintegration
In Bild 4 ist die Zerlegung in zwei Einzelintegrationen gezeigt.
In Bild 5 ist die mathematische Gleichung in eine 0. -V. Schal-
tung umgesetzt. Der Kreis mit dem Wert 0,5 stellt einen Spannungs-
teiler dar {nach Norm), der u auf u , = 0,5 u herabgesetzt. Es
werden hierzu meist Mehrgang-Prüzisiönspotentiometer verwendet.
Der nachfolgende 0.-V. muß dann eine Integrationskonstante von K =
_10 aufweisen. Da jeder der beiden 0. -V. das Signal invertiert,
ergibt sich keine Umkehr, (-1) ° (-1) = +1. Um günstige Rechen-
werte zu erhalten, werden für Widerstünde R = 10 kn, 100 ka, 1 Ma
und für Kondensatoren C = 0,1; 1; 10; 100 pF verwendet. Zwischen-
werte werden durch Potentiometer eingestellt.
Januer 1972 L 1112 - 5.3
5, Einfache Differentiation allgemein
Die Darstellung einer Differentiation mit 0.-V. erfolgt
nach Bild 6.
Bild 6: Der Differentiator
allgemein
il cil i = 0 Bedingung
d Ue
I. = C, dt (a)
d ve
u: cr R, (a) in (b) eingesetzt (c)
du
U = C,. R e
a 1 1 dt (d)
Durch die Reihenschaltung des Kondensators C, mit dem Eingang ist
die Schaltung sehr störanfällig für hohe Frequenzen. Die Lösung
einer Differentialgleichung erfolgt daher meist mit Hilfe einer
Integrationsschaltung.
6. Schaltung zum Lösen von Differentialgleichung mit Operations-
verstärkern
Wie bereits festgestellt, eignet sich die Differentialorschal-
tung nicht zur Lösung von Differentialgleichungen.
Es soll hier gezeigt werden, daß auch der Integrator Verwendung
finden kann.
t U
m \ o)i=c a Die Differentialgleichung
Cc :
i b) u = — fiat Das Integral
Bild 7 zeigt das Verhalten von Strom und Spannung am Konden-
sator a) die Differentialgleichung und b) das Integral
Januor 1972 L 1112 - 5.4
P(E)K ELECTRONIC
R,' soll den Verlustwiderstand
t, des Kondensators darstellen und
12 unerwUnschte Aufladen verhindern.
ua
Ra Schutzwiderstand
1
Bild 8: Schaltung eines Integrators. Es soll zum Lösen
der Differentialgleichung verwendet werden.
1
„ch fi. dt (a)
so fz dt (b)
ee | 1
U = f i dt Integral (c)
e=C,
_ dy,
i =O Differentialgleichung erster Ordnung (d)
i= i, -i i,* i, weil der Kondensator C, erst aufge-
1 2 1 1
laden werden muß.
U
=
1 Ry
u
nem
2 Ry
iy, in und i ini = iy - Vy eingesetzt.
du u U
C a e _ a (e)
or 2 Ry Ry
d u ue u F)
= - f
dt R,C, R,C,
Diese Formel entspricht der Schaltung des Operationsverstürkers
entsprechend der Differentialgleichung.
Januar 1972 L 1112 - 5.5
+ Ve
Ue 1 Ry Cy
1 -Ua 4
Ry Cy < Te
1-1
Ry Cy
1
Ry C4
Bild 9:Blockschaltung der Differentialgleichung
du U
a
U
e a
Hote "7 (%=R.0)
Die Blöcke R 1 werden dann einfach mit Potentiometern
1°°1 nachgebildet,
R in als Widerstand eingestellt.
1°"
d.h. der Wert
Dies geschieht, um genave Einstellungen zu bekommen, mit einem.
Mehrgangpotentiometer.
7. Anwendung der Differentialgleichung zur Nachbildung
Beispiel:
[En
i gp 0 u BEE
Bild 10: RL-Glied
UL UR
Ue
voe=uU Fu (a)
© L , R L = Ohmes als Dimension
u =L Si ,ir (b)
e dt
dt ~ Lo L L L
Januar 1972 L 1112 - $.6
P(E)K ELECTRONIC
7 ı aan |
L -i A
E2 ? °
TL
Ue Rk von
L
I R L
Bild 11: Blockschaltung fUr die Darstellung der mathematischen
Beziehungen eines RL-Gliedes
rhe
ue
Bild 12: Aufbau der Schaltung zur Lösung der.
Differentialgleichung eines RL-Gliedes
8. Zeittransformation
du
aa wird auch mathematisch mit vo bezeichnet; ebenso
dt 7°
U U
.__. __.
"a ~ CR ~ CR
u u
. = _ 7
Ma - & T
Benötigte Rechenzeit T= 7 s für eine angenommene Aufgabe. Sollte
die Schreibbreite wegen des einstellbaren Zeitmaßstabes des X-Y-
Schreibers oder des Oszillografen für eine gewünschte Registrier-
dauer nicht ausreichen, dann ist eine Zeittransformation erforder-
lich. Dies geschieht direkt in der Differentialgleichung.
Januor 1972 L 1112 - 5.7
|
|
|
|
|
-
: 5 t rm L_
“| . 0 1 s
r |
Bild 13: Darstellung ohne Bild 14: Darstellung mit Zeit-
Zeittronsformator transformator (Änderung
des Zeitmaßstabes)
Die Zeit T= 7 s soll auf T- 1 s reduziert werden, d.h. die Inte-
gration muß anstatt in 7 s in 1 s ablaufen.
Die Zeitersparnis ist 1 : 7, daraus ergibt sich der Zeittransfor-
mationsfaktor
a AM
nur
THAT
Die Gleichung lautet dann:
° _e __@
Ya AT AT
U U
- _& 9
Yo ak ts ol)
i Ue 1
T bg Ted Sa
an 1
T TA
Bild 15a: Schaltung ohne Zeit- Bild 15b: Schaltung mit Zeit-
transformation j transformation
Januar 1972 L 1112 - 5.8
P(E)K ELECTRONIC
Grundlagen einfacher Regeleinrichtungen
1. Allgemeines
Die Art des Reglers ist bei einfachen Regelungen durch die
Sprungantwort zu erkennen, das heißt, durch das Ergebnis
am Ausgang, bezogen auf eine sprunghafte Änderung des
Eingangs.
Die Regelungstechnik benutzt auch pneumatische, hydrau-
lische und elektromechanische Regler. Die Elektronik ist
als neues Gebiet hinzugekommen.
2. Proportional Regler (P-Regler)
Schieber
>ge
> ee - 7-7 “—~+—Zulauf
,y
| Se h
a |
Bild 1: Einfache Flüssigkeitsstandsregelung
Ist der Behälter ganz leer, dann ist der Schwimmer ganz
unten. Das bedeutet aber, der Zulauf ist ganz offen (Bild 1).
Steigt nun der Wasserspiegel im Behälter an, dann wird durch
den Schieber (Stellglied) weniger Wasser fließen. Bei h
ist der Schieber ganz geschlossen. Durch unterschiedliche
Länge der Hebelarme 1 :l,, läßt sich das Verhältnis Wasser-
höhe zur Schieberstellung verändern. Am Regler stellt der
Wasserstand h die Eingangsgröße dar, die Schieberstellung
ist die Ausgangsgröße.
l
Ausgang = Verstürkung v v .
Eingang 1,
Der lineare Operationsverstirker hot die P-Regler Charakte-
ristik, Bild 2.
R2
Lt
R1
oO {_} -
Januar 1972 L.2310 - S.1
yea.
Ue Ry
ti
ve}
t—-
Bild 3: Die Sprungantwort (U) eines P-Reglers
Merke: P-Regler bewirken eine zur Regeldifferenz proportio-
nale Verstellung der Stellgröße. Es tritt beim P-Reg-
ler durch die starre Kopplung eine bleibende Regel-
differenz auf.
Die Übergangsfunktion heißt beim P-Regler
F = v (Übergangsfunktion ist die Funktion
des Reglers)
U =F.U =v-JU
a e -
3. Integrierender Regler ( I - Regler )
Um die meist unerwünschte Regeldifferenz am Ausgang zu ver-
mindern, wird der sog. I-Regler eingesetzt.
Durch Einsatz des Integrators in den Regler wird die Aus-
gangsgröße zeitlich unabhängig veründert. Durch Vorinte-
gration oder nicht vollständige Entladung des Kondensators
lassen sich Anfangsbedingungen mit eingeben.
R3 ct
C+ tr
Bild 4: I-Regler mit Anfangsbedingung Vonfang
Januar 1972 L 2310 - S.2
P(E)K ELECTRONIC
Bild 5a: Test mit Sprung
te
Ugrenze
Bild 5b: Ausgangsspannung
Merke: Der I-Regler hot linearen Anstieg Uber der Zeit. I-Regler
haben eine "lange" Regelzeit, dafür keine Regeldifferenz
am Ende des Regelvorganges.
Reine I-Regler sind sehr selten, meist ist noch ein proportio-
naler Teil verhanden. Dieser kommt durch den Innenwiderstond
des 0.-V. und den ohmschen Anteil des Kondensators zustande.
ö 1 1
Übergangsfunktion F = nm RC p P=
4. Proportionel-Integral-Regler (P-I-Regler)
Der P-I-Regler hat erst den Proportionalsprung und regelt
dann integrierend weiter. Es können hier auch wieder Anfangs-
größen eingegeben werden.
R& R2 cC%
Bild 6: PI-Regler mit Anfangsbedingung Vonfang
Januar 1972 L 2310 - 5.3
I Anteil
ty to
“at
Ty ! I Ty = Nachstellzeit
Bild 7: Sprungantwort eines PI-Reglers
Merke: Die Größe der Ausgangsspannung U_ ändert sich erst
sprunghaft, danach setzt die zeitliche Änderung von
U_ ein, d.h. der I-Anteil wird wirksam. Die Regel-
differenz wird schneller ausgeregelt, als beim reinen
I-Regler. Ty ist die Nachstellzeit des Reglers.
Die Ubergangsfunktion lautet:
1+ Typ
TyP
peak a OP
Ry Ry . Cip
Anwendung findet der PI-Regler in der Temperaturregelung, damit
ein langsamer Anstieg der Temperatur den Sollwert nicht Uber-
schreitet. Beim P-Regler wurde ein Überschreiten leicht möglich
sein.
5, Differenzierender Regler (D-Regler)
Der D-Regler hat als Sprungantwort eine unendlich hohe Änderungs-
geschwindigkeit, die dann nach sehr kurzer Zeit wieder auf Null
zurückkehrt. Daher ist es zweckmäßig D-Regler mit einer Rampe:
(Sägezahn) zu untersuchen. Es entsteht als Sprungantwort eine
Nadelfunktion.
Ri
1.
LI
Bild 8: D-Regler
Janvor 1972 L 2310 - 5.4
=
t—
te
Bild 9: Sprungantwort
eines D-Regler
Die Übergangsfunktion lau
F=T
F=R
6. Proportional-Differenz
time t-—.
Bild 10: Aufstiegsantwort
s eines D-Reglers
tet:
Pp
1° & "PR
ial-Regler (PD-Regler)
PD ist die Kombination
P- und D-Regler; es mUssen nicht
immer die markanten Eigenschaften bei der Schaltung sicht-
bar sein. Dieser Regler wird auch günstiger Weise mit der
Rampe untersucht.
R1 R2
1
| ee
Ue ci
1
9 + 5
R3
L I
Bild 11: P-D-Regler
Januar 1972
L 2310 - 5.5
uel uel
t—e t—-
' —— ideoler Verlauf
Un | \ — — wirklicher Verlauf aH) |
yA |
= |
|
t—» „” t—
Tv
Bild 12: Sprungantwort eines Bild 13: Anstiegsantwort
P-D-Reglers eines P-D-Reglers
Merke: Der P-D-Regler regeit schneller als der P-Regler, hat aber
eine bleibende Regeldifferenz zur Folge.
Die Übergangsfunktion lautet:
F=v(1+Typ )
Ro
F = zt { 1+ Ry . C,p)
Bild 14: Andere Schaltung eines
PD-Reglers, mit verbessertem
Frequenzgang
7. Der Proportional-Integral-Differential-Regler (PID-Regler)
Die Sprunganwort eines PID-Reglers setzt sich aus allen 3 An-
teilen zusammen. Er hat fost alle Nachteile der anderen Regler
durch diese Kombination beseitigt.
Januar 1972 L 2310 - 5.6
P(E)K ELECTRONIC
Bild 15: PID-Regler
Bild 16: Sprungantwort
> eines PID-Reglers
—— idealer Verlauf
— - wirklicher Verlauf
TN = Nachstellzeit
U t .” a
anfang Pitt, Ty = Vorhaltezeit
T
t—>
Die Ubergangsfunktion lautet:
(14 Tp) (1 + Top)
F=v
nP
F- R, (1+ R,Cop) . (1+ C,Rop)
Ry Ry - Cop
Merke: Der PID-Regler regelt eine Regeldifferenz schnell und ohne
bleibende Regeldifferenz aus.
E
o—_{_}--+——-
A
1 Bild 17: Schaltungsmöglichkeit eines
Lo} PID-Reglers, mit verbessertem
Frequenzgang
Januar 1972 L 2310 - 5,7
n "ZzU98179,),TpTa6ey epueq
“FOTq euTex 3Dy 1eTbey-qid 19q "(paTT9-I)
wurunz 4197 Tap }Tw YyoTTYatTTYys pun
(PeTIY-d) +4@6y>nınz 419M usTnuorı4rodoıd
usp IND UUOP eTp “(P@TT9-q) Bunrepup
-usggısTTeIg egyorh auta 4sy>punz 4870}
-I® 08 °’}no zuUeIay;yTPTeHay euTe 44T1]
-—;
a°ı-|)
dN
(alır)
A= 4
ı9TBdey-gIdE
"ZU8S13,,TPTaBbey
spusqraTg eure YOY 19TBoy-gg "(PaTTy=d)
Iyaßy>nınz 104 UaTOUOTZIOdOAd Uap „no
uUUGP aTp “(P®tT9-q) Sunzepupueges6T T3845
egor6 aute ÄTyTazzıny ysysnunz 46Toy
-ı@ 08 ‘jnbd zuerejjtpTabey auta 74T1L
+19Z
- 34 TDYIOA = AL
(dat+ 1) A= 4
"ZU813,,TPTabay SpusgraTg autay zou
TaTbay-Tq 19q "UOT yyy ur ( 4187 eqn)
TT@{Uy-] IOp 47411} j19M- 1 VeqWWTYS
—9q WOUT® qy "SEAIETTSIS Tep Bunrepuy
94 4,0yBunids suTe YyıTÄaq IaTbay-Tq 1a]
}Taz
N
-77234sysoN = |
u
Le
( )A
aNı +
201762 y-1d
“}T97 STP Teg ZUaTas4TpTabay rap
Toxr6ezUuy wap ysteT6 osTo IST ager6TTe4¢
81 "ZUSIB,,TpTebay spueqteTq sutey rey
-DP }0y4 1@TBbey-] 134 *4ST TINN Zusıe,ytp
-Tedey eTp uuem ‘yno uupp 7818 4294 Bunı
-epuy STq '7403}50q ZuUs19,,TpTs6ey etp 106
-uRT of ‘ITIRFIE ı@po YBr97suo ıyew os wn
PPRIBTTSEIS STP gop 'Iyzrmeq zaTbey-] 121
iT]
‘a
JeTBey-T
"zuU81@,,TpPTebey UspUueqtreTq reUuTS ITw
gnxsTTers rep Bunıepuy atTouotyrodo.zd
@PIEHQZIOAUN BUT® 4HITASG IeTbey-g 101
. Bungtezyoseg
BunyToyag
IT Tu
eg
TSy4UTM vesoyg
Bunbzuenber 4
ij
_IM
410nyuoßunrdgi
"+94sBunßrean
re
raTbey~g
ueßunu
-y2Tezeg
US} }Dy>suedrz
@IUT pun ıeTBey ıep Bunffersuewmbsnz
L 2310 - S. 8
Jenver 1972