Über die Nachbildung und Untersuchung von Abtastsystemen auf einem elektrischen Analogrechner
F:YT'
ijber die Nqchbildungund Untersüchung'
von Abtqstsysterren
quf einem elektrischen
Anologrechner
Von G. Schneidei
SONDERDRUC
AK
H 507
E L E K T R O N I S CRHEEC H E N A N L A G .EFNE B R U A1R9 6 0
von Äbtastsystemen
Über die Nachbitdung und l-Jntersuchung
auf einem elektrischenAnalogrechner
von G. SCHNEIDER
systerns
of sampled-data
and inuestigation
Synthesizing
Institut für Automation
der AEG,
Frankfurt (Main)
by meansof an analogcomputer
Elektron. Rechenani.2 (1960),H. 1, S. 31-37
Manuskripteingang; 16. L2. 1959
Um Abtastsystente (sanopled-datasystenos)aul e'inetn Analogveahner wnterswohenzw hönnen, nouB rnan neben dem eigentliahen Abtastgl'iedern awch..di.eieni,gen Korrehturgli,eder naohb,ilden hönnen, deren Ubertragwngsaerhalten duvch eime
l,4neaveDi,ff erenzengle'ichungbesahv'iebenw'ird ( D'i,g'italrechner
,im Regelhre'is.) In d,iesenoAufsatz u'ivd, e'ine newe Method,e
zum Aulbau solcher Gli,eder angegebenumd,an ei,netnBe'isp'iel
erprobt. Dabei hommt awch di,e Aulf ind,wng gee'igneter
Korrehturgl,iedev zur Sprache. Schl,iepli,ch w'ivd noch allgeme'in awf di,i Lösung uon D'ifferenzemgle'ichumgenduvch
e'inen A nalo gvechner ei.ngegangen.
In ord,er to be able to inuesl'igate satnpled-d,ata systerns on the
analog compwter 'it'is necessavyto synlhes'izebes'ideslhe actual
sampli,ng wnits also those compensating elernents uthose
transler lunction 'is descv'ibedby a linear ailference eqwat'ion
(digi,tal computer 'in the control systern). In thi.s paper a, nea
method,lor the real'isat'ion ol thesewnits 'is shoun and appli,ed,to
an exa,mplie.In thi,s l>rocessal,so the fi.ndi,ng of appropri.ate
the general,
compensating eletnents 'is discwssed. Finally
solution ol di,fference eqwati,onsby usi,ng an analog cowtputer
is shown.
Einleitung
Die Abtastsysteme (in der angelsächsischen Literatur
,,sampled-data systems" genannt) bilden eine eigene Klasse
der Systeme zur automatischen Steuerung bzw. Regelung
und sind durch das Vorkommen eines oder mehrerer
Abtastglieder gekennzeichnet. Ein System dieser Art ist
in Bild 1 angegeben. Das Übertragungsverhalten
des
Abtastgliedes kann dabei durch
a (t) : e ((n I q) T,),
("*riTs=t<(n+t*q)7,,
nganzzahlig,O{q<1
Messung der Regelabweichung oder einer anderen Systemgröße nicht kontinuierlich, soudern nur in regelmäßigen
zeitlichen Abständen erfolgt. Eine solche Eigenschaft haben
u. a. viele Systeme, die digitale Meßeinrichtungen enthalten,
oder Svsteme. in denen die Meßwerte mehrerer Größen
durch öinen einzigen Übertraguirgskanal nacheinand.er an
einen anderen Ort übertragen werden.
Zur Beeinflussung des Übeitragungsverhaltens von Abtastsystemen gibt es grundsätzlich zweiMöglichkeiten. Die erste
Möglichkeit besteht, wie in Bild 4 an einem Beispiel gezeigt,
in der Umwandlung des treppenförmigen Verlaufs von a
in eine Stellgröße y, die keine Treppenfunktion
mehr
darstellt. Dies ist z.B. der Fa1l bei der Einfügung eines
Korrekturgliedes,
dessen Übertragungsverhalten
durch
eine Differentialgleichung beschrieben wird. In wesentlich
durchsichtigerer Weise iassen sich die Übertragungseigenschaften eines Abtastsystems jedoch verändern - und
dies ist die zweite Mögiichkeit -, indem man die Treppenfunktion a in eine andere, als Stellgröße geeignetere Treppenfunktion y verwandelt (Bild 5). Das tritt ein bei der
Einfügung eines Korrekturgliedes, dessen Verhalten durch
eine Difierenzengleichung beschrieben wird
Trs (+4)rs (z+n)r, ß+n)ti
Biid 2. Eingangs- und Ausgangsgrößeeines Abtastgliedes
(1)
Bild 3. Symbol für ein Abtastglied.
beschrieben werden (BiId 2). Das Abtastglied speichert
demnach den Wert, deq seine Eingangsgröße in den Zeitpunkten I Tr, (I I rt) 7,, (2 -t ,i ?", ... annimmt für die
Dauer einer Abtastperiode 7". Der \Mert von 4 gibt hierbei
die Lage der ersten Abtastung in bezug auf den gewählten
Zeit-Nullpunkt
an. Als abkürzende Bezeichnung {ür ein
Abtastglied soll im folgenden das Symbol von BiId 3 verwendet werden. Ein Abtastsystem liegt also vor, wenn die
Ia(t)
r-1l L r
-
Bild 4. Erste Möglichkeit
zur Korrektur
eines Abtastsystems.
Bild 5. Zweite Möglichkeit
zur Korrektur
eines Abtastsystems.
Störung
z (t)
Führungs- Regelobweichung
größe
Regelgröße
Abtüstglied
Bild 1. Einfaches Abtastsystem
2
a(t)
Nachbildung von Abtastgliedern
Für die Nachbildung und lJntersuchung von Abtastsystemen auf einem elektrischen Analogrechner ist somit
eine Methode zur Nachbildung sowohl von Abtastgliedern
als auch von Difierenzengleichungsgliedern erforderlich, da
nach dem oben Gesagten dies diejenigen Elemente sind, die
bei Abtastsystemen ztsätzlich zu den Elementen normaler
,,kontinuierlicher" Systeme auftreten können, deren Nachbildung als bekannt vorausgesetzt wird. Eine einfache
Möglichkeit zum Aufbau von Abtastgliedern ist in BiId 6
angegeben; dabei f,nden nur die in jedem.elektrischen
Analogrechner vorhandenen Bauelemente Verwendung,
'1f
/(sec)
ü(sec)
g
Bild 9. Oszillogramme zu BiId 6 mit R : 5 0 k Q ;
C : 0 , 0 5 p F ; T " : 2 s ; q T " : L s ; e T ^ : 10 ms.
a:0,5;
0+n)r'
-a (f) (näheru ngs w e i s ä )
Bild 6. Die Nachbildung eines Abtastgiiedes.
Bild 10. Hilfsschaltung zur Erzeugung der Schaltimpulse.
vielleicht mit Ausnahme des Relais-Elementes, dessen
Wirkungsweise durch Bild 7 erläutert wird. Demnach
schließt in der Schaltung von Bild 6 das Relais für
(" *q-Z
e , ) T, 1t
I
(n l,t
a , T,,0 (
2 )
*
e(
1. (2)
e sei hierbei so klein, daß sich die Eingangsgröße e im
Intervall (2) nicht wesentlich verändert. In dieser Zeitspanne verhält sich die Schaltung wie ein Verzögerungsglied 1. Ordnung mit dem Verstärkungsfaktor h : 1 und
der Zeitkonstante T n: (1 - a) RC. Hierb.ei sollte (1 - a)
nicht zu klein angesetzt werden, um eine Uberlastung der
Potentiometer bzw. des Operationsverstärkers zu vermeiden. Ist ?, klein gegen die Länge des Intervalls (2),
d.h. (1 -cr) RC 4 eT", was man durch geeignete Wahl
des Kondensators erreichen kann, so hat am Ende der
Schließungszeit des Relais die Ausgangsgröße des Operationsverstärkers (abgesehen vom Vorzeichen) den Wert
der Eingangsgröße praktisch erreicht und bleibt dann
konstant, da sich der Kondensator nicht entladen kann.
Siehe hierzu Bild 8, wo e der Deutlichkeit halber übertrieben groß angenommen wurde. Die tatsächlichen Ver-
A1
Az
Kontakfzwischen
E undAz
nur für a1> a2.
BiId 7. Relais-EIement.
hältnisse werden durch die in Bild 9 gezeigten Oszillogramme wiedergegeben. Die zur Steuerung des Abtastgliedes notwendige Sägezahnspannung wurde dabei auf
die in Bild 10 angegebene Weise erzeugt, was unter Beachtung von BiId 7 wohl unmittelbar verständlich ist. Liefern
dabei die positiven Spitzen die Schaltimpulse für Abtastglieder mit q : 40, so können mit den negativen Spitzen
solche mit T : Io f r/, betrieben werden; dies ist im
folgenden zu beachten.
Nachbiklung von Differenzengleichungsgliedern
Bei den Überlegungen zur Nachbildung von Difierenzeqgleichungsgliedern kann m_an sich auf solche beschränken,
deren lJbertragungsverhalten durch eine lineare Differenzengieichung mit konstanten Koeffizienten beschrieben wird,
d . h . g e m ä ßB i l d 5 ,
y ( t )+ 4 r ( t - T ) + . . . t c n ! ( t - h T ) :
(3)
: d , o a ( t |) d , r a ( t - T ) + . . . * d * a ( t - h T ) ,
wobei noch vorausgesetzt wird,
breite ?" der Eingangsfunktion
rationalen Verhältnis stehen:
vn'
'r _ -1'
tn
rn, w' )
daß T und die Stufena. ztreinander in einem
0, ganzzahlig.
(4)
In allen anderen Fällen ist nämlich der Einfluß des Korrekturgliedes kaum mehr zu übersehen. Ferner genügt es,
den Fall yn' : L zu betrachten, da eine Difierenzengleichung mit T:rn'T"lm
trrd tn' +l als eine solche rnit
T : T"lrn aufgefaßt werden kann, in der einige Koeffizienten verschwinden. Es darf also ohne Beschränkung .der
Allgemeinheit
.l-
rn
angenommen
werden.
rn>
Für
0, ganzzahlig
das
(5)
Übertragungsmaß
(f) (näherungsweise) Y (p)tA @) des durch Gl. (3) gekennzeichneten Differenzen-
gleichungsgliedes erhält man unmittelbar :
\e(t)
n7;
Bild 8. EingangsAbtastgliedes.
7ü7;(z+n)t; (s+drs
und
Ausgangsgröße
Y (p)
t
der Nachbildung
v7il:
eines
dol dre-rr +...+
d.ye-krn
(6)
Ein im wesentlichen aus TotZeitgliedern bestehendes
System, das ebenfalls das Übertragungsmaß (6) besitzt,
x(t-
t)
Bild 11. Totzeitsystemmit dem Übertragungsmaß(6)'
gezeigt. Der Beweis hierfür ergibt sich
ist in Bild lt
dadurch, daß für die in Bild 11 eingeführte Hilfsfunktion
t (t) die Beziehungen
k
-'tn) X (P),
X (p): A (p) - ( I. ,,"
x (t -r)
(7)
h
(8)
Y(p):()a,"-"o1x1p;
von X (p) die cl. (6)
gelten, woraus u"r"rllrr-rnation
2T
3T +7
Bild 14. Zur Erläuterune von Bild 13.
entsteht. Dieses Totzeitsystem kann somit als Grundlage
der Nachbildung von Differenzengleichungsgliedern Verwendung finden. Da die Eingangsfunktion a eine Treppenfunktion mit der Stufenbreite 7, ist und da vorausgesetzt
werden kann, daß für I < 0 alle Systemgrößen verschwinden. entnimmt man Bild 11 ohne Mühe, daß sich für die
Ausgangsfunktion y ebenfalls eine Treppenfunktion, j edoch
mit der Stufenbreite T : T"lm ergibt (Bild 12)' Das
L--1
L -r
r- -l---
L--
y(t)
L-J
a(t)
T
-l--t"-*l|
_)4T*_
Bild 12. Ein- und Ausgangsgrößeeines Difierenzengleichungsgliedesfür m :3.
gleiche gilt offenbar für die Eingangsgrößen alier in BiId11
vorkommenden Totzeitglieder, von denen jedes eine Verzögerung um genau eine Stufenbreite T bewirkt. Infolgedessen können jene Totzeitglieder nach dem Prinzip des
,,delay-line synthesizers" durch die Hintereinanderschaltung zweier Abtastglieder ersetzt werden. In den Rildern 13
und 14 wurde dabei der Einfachheit halber angenommen,
daß die Sprungstellen der at verzögernden Treppenfunktion tr (t) bei. 0, T , 2T , ' ' ' liegen. Das erste Abtastglied
tastet x (r) in den Zeitpunkten Tl2, 3T12, 5T12, "' ab,
d.h. ry - 1/r, wodurch die um Tl2 gegennber z (l) verschobene Treppenfunktion r Q - 7:12)entsteht. Diese bildet die
Eingangsgröße des zweiten Abtastgliedes, das durch Abtastung bei 0, T, 27, "', d.h. q :0, die um genau eine
Stufenbreite gegenüber x (t) verzögerte Treppenfunktion
x (t - T) bildet. Wie man sieht, wird die Wirkungsweise
nicht beeinträchtigt, wenn die erste Abtastung nicht genau
mit q :1/, erfolgt. Die Nachbildung eines durch die GIeichungen (3) und (5) gekennzeichneten Differenzengleichungsgliedes kann jetzt rrach dem Scherria von Bild 15
erfolgen. Dabei werden höchstens 2h gerr.äß Bild 6 aufgebaute Abtastglieder benötigt.
Bild 15. Der Aufbau eines Differenzengleichungsgliedes aus
Abtastgiiedern.
Nachbildung
s5'stems
und Untersuchung
eines speziellen Abtast-
Zur Illustration dieser Methoden wird nun ein nicht mehr
ganz einfaches Beispiel eines Abtastsystems in einiger Ausführlichkeit behandelt. Dabei soll auch darau{ eingegangen
werden, auf welche Weise geeignete Difierenzengleichungsgiieder zur Korrektur des Ubertragungsverhaltens aufgefunden werden können. Das Strukturbild des zu ultersuchenden Systems sowie die numerischen Werte der
KonstanLen sind in Bild 16 angegeben.
Es wird zuerst nur das Führungsverhalten des Systems
betrachtet, also z (l) = 0 gesetzt. Dabei wird verlangt, daß
bei einer sprunghaften Anderung der F'ührungsgröße r die
Regelgröße nach einer möglichst geringen Zahl von Abtastungen wieder mit der Führungsgröße exakt übereinstimme (Bild 17). Es zeigt sich, daß eine solche Forderung
nach endlicher Dauer des Einschwingvorganges bei Abtastsystemen im Gegensatz zu den Verhältnissen bei kontinuierlichen Systemen erfüllt werden kann. Dazu hat man zuerst
z{t)
T
^ (t) lr-A
=ffi
BiId 13. Die Nachbildung
4
x(t-;)
''-01 x(t-r)
echter Totzeit für Treppenfunktionen.
Bild 16. Strukturbild
des untersuchten
Svstems.
y (0) : L6,70, y (7,) : y (2T"): y (37"): "' :
f+-
Einschwingvof gong
------>l
Bild 17. Endlicher Einschwingvorgang
funktion.
der Führungs-Übergangs-
8,18,
1
(16)
zu
(Difierenzengleichungsglied)
Um ein Korrektuiglied
finden, das bei sprunghafter Anderung der Führungsgröße
um den Wert Eins die Treppenlunktion von Bild 19 ausliefert, ist es erforderlich, die dabei auftretende Eingangsgröße a (l) des Korrekturgliedes zu kennen, die durch die
Werte der Regelabweichrng e (t) in den Zeitpunkten 0, T",
2Tr, ... eindeutig gekennzeichnet ist. Letztere ergeben sich
unmittelbar, wenn die Werte der Regelgröße c in den
bekannt sind. Da wegen der Gl. (13)
Abtast-Zeitpunkten
und (14)
(17)
c (nT"):1 für mT"2 Tt + 27"
gilt, läu{t dies auf die Bestimmung der Werte von c in denjenigen wenigen Abtast-Zeitpunkten
hinaus, die innerhalb des Einschwingvorganges, d.h. in 0 < , < Tt + 2Ts
liegen, wobei noch
(18)
für 0{nTr{7,
.Werte
im vorliegenden
gilt. Die verbleibenden
Falle nur c (2Tr) - können unmittelbar den Gl. (11) und
(12) entnommen werden, da die Werte vola hs, hy hrberetts
bekannt sind. Zusammenfassend erhält man so für das
System von BiId 16
, (0) : c (7") : O, c (27,) : 0,550,
(1e)
c(37"):c(47,):"':1
d.h. wegen a (nT") : e (nTr),
a(0) : o17,, - L, a(2 T") : 0,450,
(20)
a.(3T) : a(4 T,) : "' : o
c(nTs):0
Bild 18. Darstellung einer Treppenfunktion
von Sprungfunktionen.
als Überlagerung
eine geeignete Treppenfunktion als Stellgröße y zu suchen,
die a in möglichst krrzet ZeiL it die neue Ruhelagetreibt.
Indem man die Treppenfunktion y im Sinne von Bild 18
mit noch
als eine Überlagerung von Sprungfunktionen
unbekannten Koeffizienten ho, hr, " ' auf{aßt (o(l) : Einheitssprung zur Zeit, : 0),
y (t) : hoo (t) -f \ o (t- T,) I h,o (t-27,)
+ "', (9)
sind somit geeignete h6 zt bestimmen, so daß die Regelgröße c in gewünschter Weise verläuft. Dazu gehe man von
der Übergangsfunktion der Regelstrecke aus:
u (t) :
fo
1I 4
fürlcT1,
2 e T t l r 2e - t l r z f ü r l l T r .
(lul
".,t.'
Werden nun gemäß Gl. (9) in den Zeitpunkten 0, ?r,
27", ... Sprungfunktionen an den Eingang der Regelstrecke
gelegt, so findet man gemäß GI. (10) für c (l), wenn
Y (t) : ho o (t) gesetzt wird:
c (t) = ho I
e-tlr, -
ertlr, hoe-tll:, -
bzw. wenn y (t) :
ho o (t) |
(11)
2eTtlrzhoe-tlr, für t2Tt
ht o (t - Tr) gesetzt wird:
c (t) : (h, + hr) ! ertlr' (ho + erJ'r' ht) e-tlr' (11\
_2e7-l'r2(ho+ ez:Jr"h)e-tlrn fürl ) Tr-r7,'--'
bzw. wenn y (t):
gesetzt wird:
c (t) :
hoo (t) !
hro (t-7,)
* hro (t-2Tr)
(ho -l kr+ hr) +
sTtlr, (h, f er"i"' h1 ! e2TJr, hr) e-tlT, 2sTtlT,(ho + erJ.r,-h, I s2r,l:t"h) e-tlr,
fürl ) Tt+
(13)
27"
womit die Eingangs-Treppenfunktion des Korrekturgliedes
gefunden ist (Bild 20). Es verbleibt nun die Aufgabe, ein
Differenzengleichungsglied anzugeben, das mit der Treppenfunktion (20) als Eingangsgröße die Treppenfunktion
(16) als Ausgangsgröße liefert. Dieses Problem kann in zwei
Schritten gelöst werden:
1. Aufsuchen einer Differenzengleichung, die die ,,abgeIeitete" Treppenfunktion
(2r)
h(t): y(t)-!(t-7,)
mit der Eingangs{unktiot a (t) verbindet. Der Grund für
die Einführung dieser Funktion liegt darin, daß sie
höchstens irn Intervall 0 < I < 37" von Null verschiedene \Merte h (0) : ho, k (T) : ht und h (2Ts) : h2
annrmmt.
2. Einsetzen von Gl. (21) in die gefundene Difierenzengleichung ftu k (t).
Es ist leicht zu sehen, daß der Ausdruck
a(o)h(t) -l a(7") k(t - Ts) * a(2 T") h(t - 2 f') + "' :
(22)
: h o a ( t )- l h 1 a ( t- 7 ' ) + h r a ( t - 2 7 " )
die gesuchte Difierenzengleichung ftr h (t) darstellt, wobei
sowohl a (0), a (f"), ." als auch ho, 4, h; als gegeben anzusehen sind. Daß im Sinne von GI. (5) von vornherein
T : T" gesetzt werdenkann, ist indergleichenStufenbreite
von y (t) und a (i) begründet. Wählt man in Gl. (22) nacheinander ! : 0, Ts,2Tr, ..., so ergibt sich
usw. Aus diesen Gleichungen geht hervor, daß man erst
durch den letzten Ansatz für y das verlangte Führungsverhalten herstellen kann, indem rnan lordert:
hr:1\
ho*
hrI
ho!
e T J T 'h r l
e 2 T J r ,l r r :
ho !
eTJr" h1 |
e2TJr,hr:
O
(14\
I
0J
und so die zeitabhängigen Glieder zum Verschwinden bringt.
Man beachte, daß dieses Gleichungssystem die Totzeit T,
nicht mehr enthält, was auch anschaulich verständlich ist.
Im vorliegenden Fall erhält man als Lösung dieses linearen
Gleichungssystems
(15)
ho : 16,70, h -- - 24,88, hz: 9,t8,
und damit den in Bild 19 gezeigten Verlauf der Stellgröße y:
Bild 19. Treppenfunktion
(16).
Bild 20. Treppenfunktion (20).
a ( o )h ( 0 ) : h oq Q )
)
a(o)h(7") * a(7,) h(0: hoa(7,) -t fua(o)
a(0)h(2 Z') + a1r"; h(7") + a(2 T") h(0)
|
: hoa(27")* hra(T,)'t hza(o) l(23)
a(o)h(3T")* a(7,)h(2Ts)-l a(2T")h(7,)* p r,j iOll
"
* hra(27,)+ hza(T")J
. kqa(3T]"J
und daraus wegen 4 (0) + 0
h(o): 70, h(Ts): hr, h(2 T,):
h(3Ts):h(47"):...:0
hr,
daher r (r) - o gesetzt wird. Dabei darf in Analogie zur
oben beim Führungsverhalten
aufgestellten Bedingung
verlangt werden, daß bei sprunghafter Anderung der
Störgröße z (t) dte Regelgröße bereits nach endlich vielen
Abtastungen wieder exakt ihren alten Wert Null (wegen
r (t1 = 91 annehme. Dieser Forderung kann durch WahI
einer geeigneten Stellgröße Genüge getan werden. Die Art
des Vorgehens entspricht dabei in den wesentlichen Punkten
demjenigen bei der Einstellung des Führungsverhaltens
u4d soll dahei auch nur skizziert werden. Als erstes muß
man beachten, daß am Eingang der Regelstrecke erst dann
ein Eingrifi erfolgen kann, wenn eine von Null verschiedene
Regelabweichung gemessen wird. Dies ist, wenn die Störung
bei I : 0 beginnt, nach BiId 16 frühestens bei t : Z" der
Fall. Für y darf somit nur der Ansatz
(27)
! : ho(t _ Z") + h2o(t_zT") + ...
gemacht werden. So erhält man entsprechend Gl. (13),
wenn man bedenkt, daß die Stör-Übergangsfunktion ar, (t)
der Regelstrecke durch
_ilT
' ' ' ' - 2 e tlT,
uzT):l + e
(28)
gegeben ist und daß sich die Auswirkung der Störung
t24\
\/
z (t) : 6 (l) der Auswirkung der Stellgröße überlagert:
Als gesuchtes Differenzengleichungsglied erhält man somit
aus den GL (2L) und (22)
c(t) : (1 I h, I kz -l hs) + (1 + u(r*r"\lr'r,
*
(Tt+27)lTr,
( T r + 3 T s ) l T r , ,- t l T ,
e
nzte
nile
T")lr"
2 (L I sTt+T"'''' ,r. * .(T*2
,, *
T)lrz
h) e-'lru für l z rt + 3 r-s.
"(Tt*3
Damit ergibt sich das Gleichungssystem
e
e
h,r
hs: -I,
ht
( T t + T -) l T r' h, l + e ( T r + 2 T-) l T r- ,h 2 I e ( T f t 3 T s ) l T' h
|. s : - I ,
( T t + T-s ) l 'T h
2, 1 t e l T t + 2 T r \ l T 2,
"'h2*e
dessen Auflösung bei Einsetzung
aus Bild 16 liefert:
Bild 21. Koppelplan des Abtastsystems von Bild 16 mit Korrekturglied (26).
a(o) y 1t) -t la(T - a(01)y (t - T ,\ -t
"\
+ ..' :
la(27'\- a(T'))y(t-2
-7")
"
J
hoa(t) * h a(t
* h2a(t - 2T)
(2s)
Im vorliegenden Falle folgt hieraus unter Beachtung der
cl. (15) und (20) schließlichl)
y (t) - 0,ssa ! Q,- z fs) - 0,450y (t - 3 T,)
(26)
: 163 i(t) - z+,g o(t- T,) + 9,2 a(t - 2 T,).
Der Koppelplan des Systems einschließlich des gemäß
Bild 15 nachgebildeten Differenzengleichungsgliedes ist in
Bild 21 dargestelft; wegen 7r : T" konnte dabei das im
System auftretende Totzeitglied nach Bild 13 aufgebaut
werden. Das Führungsverhalten des so erhaltenen Modellsystems ist in Bild 22 a durch Oszillogramme wiedergegeben,
wobei sowohl der Verlauf der Stellgröße y als auch der
Regelabweichung r angegeben wurde. Die genaue Ausmessung der Oszillogramme ergab dabei hier (wie auch bei
den folgenden Aufnahmen) eine sehr befriedigende Übereinstimmung mit den theoretisch gefundenen Werten (16)
und (19).
In Bild 23a wurde unter Beibehaltung des gleichen Korrekturgliedes das Störverhalten des Systems oszillographiert,
was im Gegensatz zum Führungsverhalten als unbefriedigend bezeichnet werden muß. Es soll deshalb jetzt versucht
werden, durch Wahl eines anderen Differenzengleichungsgliedes in erster Linie das Störverhalten zu beeinflussen,
vrobei das Führungsverhalten unberücksichtigt bleibt und
1) Es ist nicht selbstverctaindlicb,da8 bei der Einfügung eines solchen Differenzengleichmgsguedes die Stabiliiät des Gesamtsystemsgesichert ist. Doch soll hieraul
nicht weiter eingegmgen werden.
6
Ita\
h : 4,16, hz :
d. h.
/1or
(7.+3 T)lT2
"hs:-L,
der numerischen
Werte
-f 4,s3, hs : _ r,37
y(0): 0, y(T"): -4,16, y(27,) :
...: -1
y(3T'):,y(47):
+ o,37,
und weiter analog zu früheren Betrachtungen:
c ( 0 ): o , c ( ? - " :) 0 , 0 3 2 9 ,c ( 2 7 , ) : 0 , 1 0 8 9 ,
c(37") : 0,0672,c(47"1 - c(5 f") : ... : 6
d. h. wegen a (nTr) : - c (nT")
a(0):0, a,(TJ: -0,0329, a(27"): -0,108e,
a(37'): -0,0672, a(47"): a(57"):... : 0.
(31)
(32)
(33)
(34)
Für das Differenzengleichungsglied, das die beiden Treppenfunktionen (32) und (34) zueinander in Beziehung setzt,
findet man somit schließlich auf Grund von Gl. (21) und
einer der Gl. (22) entsprechenden Gleichung
y (t) * 2,3r y (t - T s)- t,27 y (t - 2 T - 2,0+y (t - i a",,..,,
")
\JJ'
-- 726,2a(t) - r37,5 a(t - T | 4r,6
a(t - 2 T,).
r)
Indem rnan dieses Differenzengleichungsglied auf die oben
geschilderte Weise nachbildet, erhält man das in Bild 23b
angegebene Störverhalten des Systems, das im Einklang
mit den rechnerisch gefundenen Ergebnissen (32) und (33)
steht. Durch Einfügung des Korrekturgliedes (35) ist jedoch
jetzt das Führungsverhalten sehr unbefriedigend geworden,
wie aus den Oszillogrammen von Bild 22b hervorgeht.
Es gibt auch Korrekturglieder, die das Übertragungsverhalten des Systems so verändern, daß sich sowohl für die
Führungs- als auch für die Stör-Übergangsfunktion
eine
endliche Dauer des Einschwingvorgangs ergibt. Ein solches
Differenzengleichungsglied ist im betrachteten Beispiel
gegeben durch
y (t) * L,aey (t - T ) - I,04 y (t - 2 rs) - 1,45y (t - 3 ?"),.o,,
\" "/
: 82,4a(t) - 95,6a(t - ?") -F 29,6a(t - 2T,),
BlId 22a ergibt. Den \-erlauf vonT (t), wie er sich bei einem
Sprung der Führungsgröße z (l) einstelit, ist abschließend
in Bild 25 {estgehalten.
wobei jedoch auf die et'w'as schrvierigere ^\uffindung nicht
näher eingegangen werden soll. Dieses Korrekturglied
Iiefert ein Führungs- bzw. Störverhalten, das in den Bildern 22c bzw. 23c niedergelegt ist. Trotz der endlichen
Dauer des Einschwingvorgangs muß das Führungsverhalten
wegen des starken Uberschwingens noch als ungenügend
bezeichnet werden.
Ein in jeder Hinsicht sehr gutes Führungs- wnd Störver
tralten kann jedoch hervorgerufen werden, indem die
Führungsgröße über ein zweites Korrekturglied (Bi1d 24)
F
Bild 25. Verlauf
/ (sec) uonV
1t1fnr r (t) :
o (t)
Bild 24. Abtastsystemmit zwei Korrekturgliedern.
stufenweise zugeschaltet wird. Als solches kann u.a
einfache Differenzengleichungsglied
7 (t)- r,16 i(t - T s) + 0,35e7 (t - 2 T ) - o,20arQ)
Durch diese Ausführungen glaubt der Verfasser gezeigt
und Untersuchung von
Abtastsystemen ohne weiteres au{ einem elektrischen
Analogrechner mit Hilfe der normalen Bauelemente vorgenommen werden kann, wobei auch die Nachbildung von
die als Korrekturglieder
Differenzengleichungsgliedern,
Verwendung f,nden können, keine Schwierigkeiten bereitet.
Solche Difierenzengleichungsglieder werden in einem realen
Abtastsystem (bei digitaler Erfassung der Regelabweichung)
Ä ^ ^ zu haben, daß die Nachbildung
( 3 7)
Verwendung finden, lvas hier ohne Beweis angegeben sei.
Die Oszillogramme von Bild 22d bzw. Bild 23d zeigen, daß
sich so unter Erhaltung des guten Störverhaltens von
Bild 23c das ausgezeichnete Führungsverhaiten von
?5
' E
0
0
jl
(9
I (sec)
oL---lb--lGec)
v
150
@
+l/cr.)
0
75
10
0,25
? 5
0
(c)
t(se0
t(sec)
6ff/(sec)
c
0,25
t 5
75
0
@
@
t (sec)
t(sec)
Bild2z. Verlauf der Stell- und Regelgröße ftu r (t) - o (l) und
z (t) = g (Führungsverhalten).
(26); b) mit Korrekturglied
(35) ; c) mit
a) mit Korrekturglied
Korrekturglied (36) ; d) mit den Körrekturgliedern (36) und (37).
10
L_____--_______r+
0
10
r.)Y '
'+ \r.J e
Bild 23. Verlauf der Stell-'und Regelgröße für z (r) = 0 und
(i) (Störverhalten).
z (t) :6
a) mit Korrekturglied
(26\: b) mit Korrekturglied
(35) ; c) mit
Korrekturglied (36) ; d) mit den Korrekturgliedern'(36) und (37).
7
meist als kleine Digital-Rechengeräte aufgebaut; die in
Bild 15 dargestellte Nachbildung unter Verwendung von
Elementen der Analogrechentechnik legt jedoch den VorDifferenzengleichungsschlag nahe, solche,,analogen"
glieder auch zur Korrektur realer Abtastsysteme ztt verwenden. Auch sollte man bei Systemen mit kontinuierlicher
Erfassung der Regelabweichung erwägen (insbesondere,
wenn es sich um Totzeitsysteme handelt), ob nicht durch
Einfügung eines Abtastgliedes, d.h. durch Schaffung eines
,,künstlichen" Abtastsystemes, und anschließende Verwendung analoger Differenzengleichungsglieder bessere Übertragungseigenschaften erhalten werden können als bei
Anwendung der üblichen Methoden der kontinuierlichen
Regelung. Hierbei ist auch der Umstand zu beachten, daß
Abtastsysteme im allgemeinen leichter als kontinuierliche
Systeme theoretisch behandelt werden können.
Methode zur Lösung anderer Differenzengleichungen
Es soll nun noch einiges über die Lösung anderer Differenzengleiahungen auf einem Analogrechner gesagt werden.
Hierbei wird abweichend von der {rüheren Schreibweise
die Differenzengleichung in der Form
(38)
@ ( y n ,y n + t , ' . ' , ! n * t t , n ) : O ; n - 0 , l , 2 , " '
zugrunde gelegt. Die Lösung einer solchen Gleichung ist
also eine Folge von Zat-len!n; dabei können ähnlich rvie bei
Difierentialgleichungen die ersten Ä-Werte
(39)
!0, !t, "' , ltrt
als ,,Anfangswerte" vorgegeben sein. Die Folge der ynwitd
dabei auf dem Analogrechner durch eine Treppenfunktion
dargestellt, deren Stufenbreite,Z frei wählbar ist. Der
Behandlung von Difierentialgleichungen entsprechend wird
Gl. (38) ,,nach dem höchsten Index" au{gelöst
(40)
Yn+rc:F(Y*,Yn+t,"',!n+n*t,n)'
Indem man nach Bild 13 ans lnq 71durch schrittweise Verzögerung die Werte ln * k-t, ' ' ', ln + r, ytu etzeugt und aus
letzteren durch Bildung von F (y* yn + y ' ' ', ln * t":, n) was durchaus keine lineare Operation zu sein braucht zttrückgewinnt, ergibt sich der in Bild 26
wiederum !rq.,
angegebene schematische Koppelplan. Durch rzorherige
Aufladung der Kondensatoren derjenigen'Abtastglieder,
Bildung
v0n
gemäß
Bild26. Koppelplan
gleichung (40).
zur Lösung der allgemeinen Difierenzen-
an deren Ausgang yobis yo,, erscheinen, werden
Weise berücksichtigt.
in bekannter
Anfangswerte
dabei die
Bemerkung
Der Verfasser dankt abschließend den Herren Dipl.-Ing.
W. Arntnom und Dipl.-Phys. F. Haberstoch a:os dem Institut
der AEG für die wertvollen Anregungen,
für Automation
die sie ihm stets zukommen ließen.
Literatur:
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J. S.Cyphin, Über die Synthese von Impulssystemen der automatischen
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McGraw-Hill Book Company, ryew York 1958.
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H . Chestnut-A. DabuI-D . Leiby, Analog Computer Study of Sampled Data Systems. Transactions of the AIEE, Pt.2, Jan.7959.
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