Rechenbeispiele fur den RAR Analogrechner — Rechenbuch 1
6. Rechenbeispiele
Die nachfolgenden einfachen Demonstrationsbeispiele aus dem Gebiet der Analog-Rechentechnik zeigen
die Funktion dieses kleinen Analogrechners, der nur mit einer minimalen Anzahl von Rechen-Komponenten ausgestattet ist.
Auf spezielle Programmierungsdetails, wie z.B. Variablen- und Zeitnormierung oder die Wahl von Anfangsbedingungen, wird bei diesen Beispielen nur so weit eingegangen, als es für das Verständnis der
Rechenschaltungen erforderlich ist.
Die Variablen werden in den folgenden Beispielen in dimensionslosen Maschinen-Einheiten angegeben.
Der Maschinen-Einheit +1 entspricht eine Rechenspannung von +50 Volt, der Einheit -1 entspricht eine
Spannung von -50V.
Die bipolare Skalenteilung des Anzeige-Instrumentes und die großen Zeitkonstanten der Integrierer
erlauben eine direkte Beobachtung dynamischer Vorgänge, auch ohne Verwendung eines Oszilloskops.
6.1 Grundoperationen mit Summierern
6.1.1 Multiplikation mit einer Konstanten
6.1.2 Summe von drei Variablen
6.1.3 Lösung eines linearen Gleichungssystemes mit zwei Unbekannten
6.2 Grundoperationen mit Integrierern
∫
6.2.1 Integration einer konstanten Eingangsgröße y = a dt
∫
6.2.2 Integration einer linear zeitabhängigen Variablen y = (a·t + b) dt
6.3 Rechenoperationen mit dem Dioden-Funktionsgeber
6.3.1 Bildung der Funktion y = - x
2
6.3.2 Lösung einer quadratischen Gleichung
6.4 Lösung linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung
6.4.1 Lösung der Differentialgleichung y’ = y
6.4.2 Lösung der Differentialgleichung y’ = -k·y
6.5 Lösung linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung
6.5.1 Lösung der Differentialgleichung k3·y’’ + k2·y’ + k1·y = 0
2
6.5.2 Lösung der Differentialgleichung y’’ = - ω ·y
6.6 Realisierung diskontinuierlicher Funktionen
6.6.1 Vergleich zweier Variablen (Komparator)
6.6.2 Bildung der Funktion y = sign x
6.6.3 Bildung der Funktion y = │x│
6.1 Grundoperationen mit Summierern
6.1.1 Multiplikation mit einer Konstanten:
Betrachtet man als Beispiel den Rechenverstärker A3, so bildet er eine AusgangsVariable y entsprechend der Gleichung:
y = - ( x1 + x2 + 2 x3 )
(1.1)
Wird nur ein Summierer-Eingang verwendet (siehe Bild
1.1, Schaltung a), reduziert sich Gleichung (1.1) auf:
y = - x.
Der Verstärker arbeitet dann als einfacher Inverter.
Bild 1.1
Wird die Eingangs-Variable an zwei Summier-Eingänge gelegt (Schaltung b), so ergibt sich eine AusgangsVariable:
y = - 3 x.
Der Verstärker wirkt jetzt wie ein Multiplizierer, der die Eingangs-Variable mit dem Faktor 3 multipliziert.
Wird die Ausgangs-Variable y an einen Eingang zurückgeführt (Schaltung c), hat der Rechen-Verstärker
die gleiche Funktion wie ein Koeffizienten-Potentiometer:
Wegen
y = -(x + y )
ergibt sich:
y = - 0,5·x.
Für die Schaltung d) folgt nach Gleichung (1.1):
y = -(2·x +x + 0,2·y)
Daraus folgt:
y = - 2,5·x
6.1.2 Summe von drei Variablen:
y = x1 - 2·x2 + 0,5·x3 + 1
Die Rechenschaltung in Bild 1.2 liefert am Ausgang des
Summierers A3:
y1 = -( x1 - 2·x2 + 1) .
Am Ausgang des Summierers A1 entsteht:
y2 = - 0,5·x3.
Der Summierers A2 bildet aus y1 und y2 das Endergebnis:
y = x1 - 2·x2 + 0,5·x3 + 1.
Bild 1.2
Zahlenbeispiel 1:
Für die Eingangs-Variablen x1 = 0,4 x2 = 0,2 x3 = -1,0 lautet die Lösung: y = + 0,5
Zahlenbeispiel 2:
Für die Eingangs-Variablen x1 = -0,7 x2 = 0,8 x3 = 0,6 wäre die rechnerische Lösung: y = -1,0.
Obwohl dieses Ergebnis im zulässigen Rechenbereich -1,0 ≤ y ≤ +1,0 liegt, liefert die Rechenschaltung
dennoch ein falsches Ergebnis, da der Summierer A3 übersteuert wird: y1 = -(-0,7 -1,6 +1) = 1,3.
6.1.3 Lösung eines linearen Gleichungssystemes mit zwei Unbekannten:
x1 + 0,5·x2 – 0,3 = 0
0,2·x1 + x2 + 0,3 = 0
Zur Variablen-Trennung werden die Gleichungen umgewandelt:
x1 = -(0,5·x2 – 0,3)
x2 = -(0,2·x1 + 0,3)
Die Rechenschaltung in Bild 1.3 setzt diese beiden Gleichungen direkt um. Als Lösungen ergeben sich:
x1 = + 0,5 x2 = - 0,4.
Bild 1.3
6.2 Grundoperationen mit Integrierern
6.2.1 Integration einer konstanten Eingangsgröße
Die Integrierer des Analogrechners liefern eine Ausgangs-Variable y entsprechend der Gleichung:
t
1
y = − T ( x1 +x2)dt - IC
∫
(2.1)
0
Bild 2.1
Die Integrations-Zeitkonstante T beträgt 1 Sekunde.
Wird nur ein Integrierer-Eingang verwendet, reduziert
sich die Gleichung (2.1) auf:
t
∫
a= - 0,2
(2.2)
y = − x 1 dt IC
0
In der Demonstrations-Schaltung (Bild 2.1) wird eine
konstante Eingangsgröße a mit einem KoeffizientenPotentiometer aus dem Referenz-Signal -1 gewonnen.
a= - 0,1
a= - 0,05
Nach den Grundregeln der Integralrechnung gilt für
die Integration einer Konstanten a :
∫ a dt = a·t
(2.3)
Aus Gleichung (2.2) folgt daher für die Ausgangs-Variable
In Integrierers:
des
y = IC - a·t
(2.4)
Bild 2.2
V: 20V/div
H: 5s/div
Das Bild 2.2 zeigt den zeitlichen Verlauf der AusgangsVariablen y für die Anfangsbedingung IC = -1 und für 3
verschiedene Werte der Konstanten a:
a = - 0,05 a = - 0,1
a = - 0,2
(Die rote Linie im Oszillogramm kennzeichnet die Null-Linie
der Ausgangs-Variablen y).
6.2.2 Integration einer linear zeitabhängigen Variablen
Bild 2.3
Die Rechenschaltung des vorherigen Beispiels wird
jetzt mit einem zweiten Integrierer erweitert. (Bild 2.3).
Nach einer Grundregel der Integralrechnung gilt:
∫ ( a·t + b) dt =
y2
Die Ausgangs-Variable y2 des zweiten Integrierers nimmt
daher einen quadratischen zeitlichen Verlauf an.
Bild 2.4 zeigt den Ablauf des Integrations-Vorganges.
y1
Beim Nulldurchgang von y1 tritt bei y2 ein Wendepunkt auf.
(Die rote Linie im Oszillogramm kennzeichnet die NullLinien y1 = 0 und y2 = 0).
Bild 2.4
V: 20V/div
H: 2s/div
6.3 Rechenoperationen mit dem Dioden-Funktionsgeber
6.3.1 Bildung der Funktion y = - x2
Ia
Zur Nachbildung eines quadratischen Funktionsverlaufes wird die Funktion in einem DiodenFunktionsgeber durch fünf Geraden-Stücke angenähert (Bild 3.1).
Der Dioden-Funktionsgeber liefert einen Ausgangs-Strom I a , der in
einem nachgeschalteten offenen Verstärker in die endgültige AusgangsVariable y umgewandelt wird (Bild 3.2):
y=-x
2
für
0 ≤ x ≤ +1.
2
Da die Funktion y = x gerade ist, nimmt die Variable y nur positive
Werte an (siehe Bild 3.3):
Bild 3.1
Bild 3.3
Bild 3.2
Bild 3.4
Die Rechenschaltung in Bild 3.2 kann deshalb sehr leicht durch das Vorschalten von zwei Dioden und
einem Inverter auf den vollen Werte-Bereich erweitert werden:
y=-x
2
für
-1 ≤ x ≤ +1.
Bild 3.4 zeigt diese erweiterte Rechenschaltung.
6.3.2 Lösung der quadratischen Gleichung y = x2 – 0,7·x – 0,2
In der nebenstehenden Rechenschaltung liefert der Summierer A1 an seinem Ausgang die
Variable:
y1 = 0,7·x - 0,2.
am Ausgang des Summierers A2 entsteht
deshalb:
2
y = - ( - x + y 1)
bzw.:
2
y = x – 0,7·x – 0,2.
Als Lösungen ergeben sich die beiden Wurzeln:
x1 = -0,22 x2 = +0,92.
Bild 3.6 zeigt den Verlauf der Funktion
2
y = x – 0,7·x – 0,2.
Das Diagramm lässt erkennen, dass für den
Werte-Bereich
Bild 3.5
x ≤ -0,8
eine Übersteuerung der Rechenschaltung auftritt.
Bild 3.6
6.4 Lösung linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung
6.4.1 Lösung der Differentialgleichung y’(t) = y(t)
Zur Lösung der Gleichung
y’(t) =y(t)
(4.1)
wird die nebenstehende Rechenschaltung (Bild 4.1) verwendet.
Nimmt man an, dass am Eingang des Integrierers die Ableitung y‘(t)
liegt, so muss an seinem Ausgang die Variable –y(t) entstehen.
Um die Gleichung (4.1) zu erfüllen, wird der Ausgang des Integrierers
über einen Inverter an seinen Eingang zurückgeführt.
Bild 4.1
Nach einer allgemeinen Integrationsregel gilt:
∫e
a·t
=
·e
a·t
(4.2)
Wird die Konstante a =1 gesetzt, so lautet die Lösung der Gleichung
(4.1):
t
y(t) = y(0) ·e .
(4.3)
Bild 4.2 zeigt die Lösungen y(t) für verschiedene Anfangsbedingungen
y(0) und für eine Integrierer-Zeitkonstante von T = 1s .
a)
t=0
Bild 4.2
b)
In Bild 4.3 sind drei oszillografisch ermittelte Lösungen dargestellt. Als Anfangsbedingungen wurden folgende Werte
gewählt:
c)
a): y(0) = +0,5
b): y(0) = +0,1
c): y(0) = - 0,1.
Bild 4.3
V: 50V/div H: 0,5 s / div
6.4.2 Lösung der Differentialgleichung y’(t) = -k·y(t)
Die Berechnung von
y’(t) = -k·y(t)
(4.4)
erfolgt in gleicher Weise wie in
Beispiel 4.1, allerdings muss hier
der Inverter durch ein KoeffizientenPotentiometer ersetzt werden, da ja
nicht y(t), sondern -k·y(t) an den
Eingang des Integrierers zurückgeführt
werden soll.
Mit dem Ansatz
a = -k
Bild 4.4
ergibt sich jetzt nach der Integrationsregel (4.2):
y(t) = y(0) ·e
-k·t
.
(4.5)
Bild 4.5
Bild 4.5 zeigt die Lösungen y(t) für verschiedene
Koeffizienten k und für die Anfangsbedingungen y(0) =
±1.
Bild 4.6 zeigt wieder drei oszillografisch ermittelte
Lösungen. Als Anfangsbedingungen wurden folgende Werte gewählt:
a)
a): y(0) = +1, k = 0,1
b)
b): y(0) = +1, k = 0,5
c): y(0) = - 1, k = 0,5.
c)
t=0
Bild4.6
V: 20V/div H: 1,0s / div
6.5 Lösung linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung
6.5.1 Lösung der Differentialgleichung k3·y’’ + k2· y’ + k1 ·y = 0
Um eine Rechenschaltung für die Lösung der Gleichung
k3·y’’ + k2· y’ + k1 ·y = 0
(5.1)
zu entwerfen, muss die Gleichung so umgewandelt
werden, dass die höchste Ableitung y“ isoliert ist:
y“ = -
·(k2·y‘ + k1·y)
(5.2)
Geht man davon aus, dass in der Rechenschaltung in
Bild 5.1 die zweite Ableitung y“ am Eingang des ersten
Integrierers A1 liegt, so wird an seinem Ausgang die
invertierte erste Ableitung –y‘ entstehen. Am Ausgang
des zweiten Integrierers A2 wird dann y gebildet.
Bild 5.1
Am Ausgang des nachfolgenden Summierers A3 entsteht die Summe:
- (k2·y‘ + k1·y).
Damit Gleichung (5.2) erfüllt ist, muss diese Summe über das Koeffizienten-Potentiometer k3 an den Eingang des ersten Integrierers zurückgeführt werden. Die Differentialgleichung ist damit gelöst, allerdings
müssen den beiden Integrierern noch die vorgegebenen Anfangsbedingungen zugewiesen werden.
In der Mechanik wird durch diese homogene Differentialgleichung 2. Ordnung der
Bewegungsablauf eines Feder-Masse-Systems beschrieben, das durch die Masse
m, die Federkonstante c und die Dämpfungskonstante d definiert wird (Bild 5.2).
Wird die Masse m zum Zeitpunkt t = 0 um den Betrag y(0) aus der Ruhelage
gebracht, führt sie eine periodische Schwingung um die Ruhelage aus.
Bei einem solchen System stehen die an m angreifende Federkraft c ·y und die
Dämpfung d ·y‘ immer im Gleichgewicht mit der Trägheitskraft m·y“:
m·y’’ + d·y’ + c·y = 0.
Bild 5.2
(5.3)
Die Variable y entspricht dem Schwingweg der Masse m, die Ableitung y‘ entspricht der Geschwindigkeit und
y“ entspricht der Beschleunigung.
Durch Vergleich der Gleichungen (5.1) und (5.3) ergeben sich die Zusammenhänge:
k3 = m, k2 = d, k1 = c .
Im Gegensatz zu allen bisherigen Rechenbeispielen sind die Koeffizienten k3, k2, k1 hier also
nicht dimensionslos !
Die folgenden vier Bilder zeigen das Schwingverhalten eines Feder-Masse-Systems in Abhängigkeit von
den drei Koeffizienten k1 bis k3. Für alle Bilder gelten die gemeinsamen Annahmen:
k3 = m = 0,7
y(0) = -1
y‘(0) = 0.
Aus den Bildern 5.3 und 5.4 ist der Einfluss der Federkraft k1 auf die Frequenz der schwingenden Masse m
zu erkennen.
k1 = 0,1
k2 = 0,05
Bild 5.3
k1 = 0,5
k2 = 0,05
V: 20V/div H: 5 s / div
Bild5.4
V: 20V/div H: 5 s / div
Die Bilder 5.4 bis 5.6 zeigen den Einfluss der Dämpfungskonstanten k2 auf das Einschwingverhalten der
Masse m.
k1 = 0,5
k2 = 0,4
Bild 5.5
V: 20V/div H: 5 s / div
k1 = 0,5
k2 = 1,0
Bild 5.6
6.5.2 Lösung der Differentialgleichung y’’ = - ω2 y
Wird in der Gleichung (5.1) des letzten Beispiels der
Dämpfungsfaktor k2 = 0 gesetzt, erhält man eine lineare
Differentialgleichung 2. Ordnung, die eine ungedämpfte
Schwingung beschreibt.
Bild 5.7
Aus Gleichung (5.1) wird:
k3·y’’ + k1 ·y = 0
oder:
y’’ = -
·y
(5.4)
V: 20V/div H: 5 s / div
Der Ausdruck
wird als Kreisfrequenz ω bezeichnet, wobei gilt:
ω = 2
·f.
(5.5)
Gleichung (5.4) erhält damit die Form:
2
y’’ = - ω y.
(5.6)
Zur Lösung dieser Gleichung wird folgender Ansatz
gewählt:
2
y’’ = -ω ·sin ωt
Bild 5.8
V: 20V/div H: 1 s / div
(5.7).
Nimmt man an, dass die Integrierer-Eingänge in der
Rechenschaltung (Bild 5.7) die Gewichtsfaktoren C
besitzen, so erhält man am Ausgang des ersten
Integrierers A1 bei einer Integrations-Zeitkonstante T =
1s:
y’ = C· ω·cos ωt
(5.8)
Die zweite Integration liefert:
2
y = C ·sin·ωt
(5.9)
Wird der Ausgang des zweiten Integrierers A2 über einen Inverter A3 mit dem Eingang des ersten Integrierers A1 verbunden, so muss gelten:
2
2
-ω ·sin ωt = - C ·sin ωt
Daraus folgt:
C = ω = 2
·f.
Es gilt daher für die Schwingfrequenz f :
f=
.
Für einen Gewichtsfaktor C = 1 ergibt sich damit eine Schwingfrequenz von:
f = 0,159 Hz.
Werden beiden Eingänge der Integrierer A1 und A2 parallelgeschaltet, ergibt sich daraus für jeden Integrierer ein Gewichtsfaktor C = 2 und damit eine Schwingfrequenz von:
f = 0,318 Hz.
Bild 5.8 zeigt die Ausgangs-Variablen der beiden Integrierer. Entsprechend den Gleichungen (5.8) und (5.9)
entstehen zwei um 90º phasenverschobene Sinus-Signale.
Da es in der Praxis keinen Rechenverstärker mit idealen Eigenschaften und keine Integationskondensatoren ohne Verluste gibt, tritt in der Rechenschaltung Bild 5.7 eine schwache Schwingungsdämpfung auf.
Als Folge davon klingen die Amplituden der beiden Sinus-Signale langsam ab.
6.6 Realisierung diskontinuierlicher Funktionen
6.6.1 Vergleich zweier Variablen x1, x2
(Komparator)
Um zwei Variable x1 und x2 zu
vergleichen, wird die in Bild 6.1
dargestellte Rechenschaltung
verwendet.
Die Variable x2 wird invertiert an
Bild 6.1
einen Eingang des offenen Verstärkers A4 gelegt. Die Eingangs-Variable x1 wird direkt mit einem Eingang
von A4 verbunden.
Wie aus den Kennlinien der Rechenverstärker zu entnehmen ist (siehe: Abschnitt 3.1), wird die Ausgangsspannung des offenen Verstärkers A4 wegen seines hohen Verstärkungsfaktors (V ≈ 1000) sofort den positiven Sättigungswert von ca. +120V annehmen, sobald x1 < x2 ist.
Die Ausgangsspannung springt auf den negativen Sättigungswert von ca. -100V, sobald x1 > x2 ist.
Durch die Diode in Bild 6.1 werden positive Ausgangsspannungen unterdrückt, negative Spannungswerte
werden mit einem Koeffizienten-Potentiometer auf -50V d.h.: auf die Maschinen-Einheit -1 begrenzt.
Der nachfolgende Inverter A1 bildet die endgültige Ausgangs-Variable y:
y = 0 für x1 < x2
y = 1 für x1 > x2 .
Bild 6.2 zeigt den zeitlichen Verlauf der AusgangsVariablen y für eine sinusförmige Eingangs-Variable
x1 und für eine konstante Eingangs-Variable x2.
Die beiden roten Linien im Bild 6.2 kennzeichnen die
Null-Linien von x1 und y, durch die strichlierte rote Linie
wird die Variable x2 angedeutet.
Zur Erzeugung einer sinusförmigen Eingangs-Variablen
und zur Demonstration der Komparator-Funktion wird
eine Rechenschaltung nach Bild 6.3 verwendet.
x2
x1
Bild 6.2
V: 50V/div H: 1s/div
Bild 6.4
V: 50V/div H: 1s/div
Diese Schaltung entspricht einer Kombination der
Rechenschaltungen von Bild 5.7 und Bild 6.2.
Abweichend zu Bild 6.2 wird dem offenen Verstärker
jedoch die Variable –x1 zugeführt. Dadurch ist auch der
zweite Inverter (A1 in Bild 6.2) nicht mehr erforderlich.
6.6.2 Bildung der Funktion y = sign x
Wird in Bild 6.1 die Variable x2 = 0
gesetzt, arbeitet die Rechenschaltung als Funktionsgeber für
die Signum-Funktion:
y=1
für
x1 ≥ 0
y=0
für
x1 < 0
Bild 6.4 zeigt den zeitlichen Verlauf der AusgangsVariablen y für eine sinusförmige Eingangs-Variable x1.
Für die Demonstration wird wieder die Rechenschaltung
nach Bild 6.3 verwendet, wobei jetzt k2 = 0 , d.h.: x2 = 0
gewählt wird.
6.6.3 Bildung der Funktion y = │x│
Die nebenstehende Rechenschaltung bildet den Absolutwert
einer Variablen x für den WerteBereich -1 ≤ x ≤ +1.
Für positive Werte von x ist die Diode D1 gesperrt, D2 ist
leitend. Der offene Verstärker A4 arbeitet deshalb als einfacher Inverter:
x* = - x.
Für negative Werte von x ist die Diode D2 gesperrt. Es gilt daher:
x* = 0
Die nachfolgende Summierer A3 liefert die Ausgangs-Variable y:
y = -(x + 2·x*).
Es gilt daher:
y=x
für
x>0
y = -x
für
x < 0.
Bild 6.5