Analog Computers

Reference / Paper · 1980

Systemanalyse und Reglerentwurf am Beispiel einer elektromagnetischen Aufhängung

Read the PDF (74 pp) ↗ Read the English translation →

A 74-page German Studienarbeit (student research thesis) from the Institut für Mess- und Regelungstechnik, Universität Karlsruhe, submitted in 1980 under Prof. Dr.-Ing. F. Mesch. The work performs a system analysis and PID controller design for an electromagnetic (magnetic) suspension — an inherently unstable, nonlinear plant — and demonstrates how the linearized closed-loop system is simulated on an analog computer. Topics include derivation and linearization of the equations of motion, measurement of the force-distance characteristic and optical sensor curve, root-locus controller synthesis, cascade current-loop design, normalization for the analog computer, and a revised laboratory experiment guide ('Analogrechner II').

Manufacturer
Universität Karlsruhe
Author
Volker Hornung
Year
1980
Type
Reference / Paper
Language
German
Learning track
specific applications
Pages
74
  • Universität Karlsruhe
  • magnetic suspension
  • system analysis
  • controller design
  • analog computer simulation

← Back to the Reference Library

Systemanalyse und Reglerentwurf am Beispiel einer elektromagnetischen Aufhängung

| INSTITUT FÜR MESS- UND REGELUNGSTECHNIK MIT MASCHINENLABORATORIUM UNIVERSITÄT (TH) KARLSRUHE | PROF. DR.-ING. F. MESCH 75 KARLSRUHE, POSTFACH 638 1],5,1979 RICHARD-WILLSTATTER-ALLEE FERNRUF: (0721) 6082325 | Studienarbeit | x für Herrn cand. mach. Volker Hornung : Systemanalyse und Reglerentwurf am Beispiel einer elektromagnetischen : Aufhängung. | Ergänzung zum Versuch "Analogrechner II" des Regelungstechnischen Praktikums Eine der möglichen Vorgehensweisen bei der Untersuchung dynamischer Systeme ist es, ausgehend von den technischen Gegebenheiten, ein physikalisches Modell zu entwickeln und dieses in Form von Differential- oder Integral- gleichungen mathematisch zu formulieren. Diese Art der Systemidentifikation bietet gegenüber anderen Verfahren den Vorteil der Allgemeinheit und | Felxibilität und kommt weitgehend ohne Experimente aus. Die Möglichkeit, derartige Untersuchungen bereits im Planungsstadium technischer Anlagen durchführen zu können, wiegt die gegenüber experimentellen Verfahren im allgemeinen geringere Genauigkeit bei weitem auf. Die Behandlung der mathematischen Modelle ist oft recht schwierig, und eine explizite Lösung kann nur in einfachen Fällen angegeben werden. Um die Aus- sagekraft einer theoretischen Systemanalyse voll nutzen zu können, ist da- her der Einsatz elektronischer Rechner notwendig. Im Rahmen des regelungstechnischen Praktikums sollen den Teilnehmern an zwei Versuchsnachmittagen die Grundlagen der Analogrechentechnik vermittelt werden. Der Versuch "Analogrechner I" soll die Fragen der Verstärkerbeschal- tung und der Normierung klären. Hierauf aufbauend sollen im Versuch "Analog- rechner II" die Einsatzmöglichkeiten des Rechners am Beispiel eines Regler- entwurfs dargestellt werden. Als Strecke wird eine magnetische Aufhängung betrachtet. Die Bewegungs- gleichung dieses nichtlinearen und instabilen Systems wird in der bisherigen Fassung der Versuchsbeschreibung vorgegeben. Diese Gleichung wird um einen gegebenen Betriebspunkt linearisiert. Die resultierende Übertragungsfunktion ist Ausgangspunkt eines Reglerentwurfs mit Hilfe des Wurzelortskurvenverfah- rens. Das sich ergebende lineare Gesamtsystem wird am Analogrechner simuliert. -2- Die angestrebte Neufassung des Versuchs soll ein vorhandenes Modell einer magnetischen Aufhängung mit einbeziehen. Hierzu ist die Abhängig- keit der auf den Schwebekörper wirkenden Kraft vom Abstand des Körpers vom Magneten sowie vom Strom, der durch die Magnetspule fließt, experi- mentell zu ermitteln. Außerdem ist die Kennlinie der optischen Einrich- tung zur Abstandsmessung zu ermitteln. Auf der Grundlage dieser Messungen ist der Reglerentwurf zu überarbeiten. Es soll geprüft werden, ob es didaktisch sinnvoll ist, bei der Simulation des Systems die nichtlinearen Elemente mit einzubeziehen. Der überarbeitete Versuch soll folgende Punkte umfassen: 1. Systemanalyse unter Berücksichtigung der gemessenen Kennlinien; 2. Reglerentwurf für das linearisierte System mit Hilfe des Wurzelorts- kurvenverfahrens; 3. Simulation des Gesamtsystems am Analogrechner; 4. Regelung der vorhandenen magnetischen Aufhängung mit Hilfe des am Analogrechner programmierten Reglers; 5. Vergleich von Simulation und Modellaufbau. Ziel der Studienarbeit ist die Ausarbeitung einer Versuchsanleitung, die Erstellung sämtlicher Unterlagen zur Versuchsdurchführung und die Anpas- sung des Modellaufbaus an die Erfordernisse des Praktikums. Bearbeitungszeit: 6 Monate Betreuer: Dipl.-Ing. H. Braun Ausgabe der Arbeit: 1.5.1979 Abgabe der Arbeit: A. fF: f0 IT dv (Prof. Dr.-Ing. F. Mesch) Systemanalyse und RKeglerentwurf am Beispiel einer elektro- magnetischen Aufhängung . N DB M m MD NI er BD ES EBEN, ta FG ak NE . . B ts. IN RODS We abt NM M N Soe eS ABS NN) DD . fos \n WW IN IN N hm m . SAUER N MO > Anhang Systemanalyse Systemanalyse am Beispiel einer elektromagnetischen Aufhangung Teilsysteme des Regelkreises Meßsysten Regler Steuerung der magnetischen Feldstärke Blockschaltbild des Regelkreises Übertragungsfunktion des offenen Kreises keglerentwurf Stabilitätsuntersuchung anhand aes Hurwitz-Kriteriuns Zeichnen der Wurzelortskurve Wurzelortskurvendiskussion Einstellmöglichkeiten an der Versuchseinrichtung PID-Regler PD-Regler Parameterempfindlichkeit Simulation auf dem Analogrechner Schaltungsentwurf Strecke Verzögerungsglied Lichtschrankensystem , Soll-Istwertvergleich , Trennver- stärker kegler AR-Schaltung Kopplung der Teilsysteme Beispiel Schaltungsbeschreibung , Schaltplan , Stückliste Literatur Überarbeiteter Versuch "Analogrechnen II" mit Versuchs- anleitung 1. Systemanalyse Die mathematische Beschreibung eines technischen Systems ist prinzipiell anhand einer theoretischen Herleitung aus physi- Kalischen Grundgesetzen moglich . Aus der Geometrie , physi- kalischen Zusammenhängen und Stoffkonstanten lassen sich die zugehörigen Parameter bestimmen . Eine exakte mathematische Beschreibung erfordert jedoch bis- weilen einen sehr hohen Aufwand , so daß eine experimentelle Systemidentifikation von Vorteil sein kann . Dabei wird aus Messungen auf die Systemgleichungen rückgeschlossen , was je- doch bei komplizierteren , wie nichtlinearen oder instabilen , Systemen schwierig wird Bei stark nichtlinearen Systemen können die Linearität vor- aussetzenden Verfahren nicht mehr angewendet werden , und es muk überlegt werden , ob eine Linearisierung statthaft ist. Instabile Systeme sind schwer zu behandeln , da sie keine stabile Lage besitzen und das Verhalten ohne Kkegelung nicht zu kontrollieren ist . 5 In der Praxis geht man oft von einer vereinfachten theoreti- schen Herleitung aus und nimmt anschließend die Kennlinien des Systems auf . Dies führt zur Bestimmung der Parameter und zur Feststellung des Gültigkeitsbereiches der angenommenen physikalischen Gesetzmäßigkeiten [4 | R a i a a i i a a i a i a . i a a a ae ae ee Se ee ee Am Beispiel der in Abb.1 dargestellten magnetischen Auf- hängung soll nun eine Systemanalyse durchgeführt werden = Bekanntestes Beispiel für die Verwendung magnetischer Auf- hängungen sind Schwebefahrzeuge wie beispielsweise der Transrapid der Firma Krauss-lWaffei . Zudem werden bei höchsten Drehzahlen oder bei extremen An- sprüchen an geringe Lagerreibung magnetische Lager benutzt . Diesen entspricht die in Versuch 9 des Regelungstechnischen Praktikums [2] zu behandelnde magnetische Aufhängung , die folgendermaßen realisiert wird . oe ! | = Abb. 1 Magnetische Aufhängung In einem stromgesteurten Magnetfeld befindet sich ein frei schwebender Anker , dessen Abstand vom Magneten ein Licht- Schrankensystem mißt . Dieses gibt eine dem Abstand ent- Sprechende Spannung weiter , die mit einem wählbaren Soll- wert verglichen wird . Ein nachgeschalteter PID-Regler steuert mittels dieser Information einen Spannungs-Stron- Wandler an , der seinerseits der Magnetspule einen das Magnetfeld bestimmenden Strom aufprägt (Abb.2) Bine wögliche Rückwirkung des Ankers auf die Spuleninduktivi- tat bei verschiedenen Abständen bleibt im folgenden zu beachten A Spannungs - x Regler |}———s Strom - et Sttecke 7 ——e = Wandler A N Abb. 2 LS -System Is Die vom ilagneten auf den Anker der Masse m in Bild 1 ausge- übte Kraft ist allgemein proportional der Änderung der Bagnetischen Energie dw aq A ce m dre ax mit R magnetischer Widerstand des magnetischen Kreises , Sei Annahme einer linearen Magnetisierungskennlinie des Bisens . Bei Vernachlässigung des magnetischen Widerstandes im Eisen und unter Voraussetzung eines homogenen Magnet- 2 feldes ist Rx , woraus di mh Bie 65 2 folgt . Da die Berechnüng der Feldverteilung wegen der komplizierten geometrischen Verhältnisse mit sehr großem Aufwand verbunden wäre , wurde das reale Verhalten untersucht . Zur Bestimmung des realen Verhaltens wurde die Gleichgewichtslage x in Ab- hängigkeit vom eingeprägten Strom i und dem Ankergewicht mg gemessen . Trägt man den Strom über aem Abstand bei konstan- tem Gewicht und Form für einen bestimmten Fall auf , So er- gibt sich folgender Graph. = a A 1,8- 1,4- 0,67 0,2- =, axe mm ee 2 6 el: Es wird erkennbar , daß der Kurvenverlauf durch eine Gerade annähernd wiedergegeben werden kann , die die Ordinate in i = 0.27 A schneidet . Bisher wurde nicht berücksichtigt , daß die Lage des Polschwerpunkts des Magneten unbekannt ist . Führt man eine Verschiebungskonstante x, ein , so folgt a = (x + x) ‚ was dem realen Kurvenverlauf entspricht . Abweichungen von der Geraden können auf unregelmäßige Feld- geometrie , Sättigung des Ankers und Gegeninduktivitat zurück- geführt werden . Es gilt nun zu untersuchen , wie sich obiger Zusammenhang auf das Kraft-Weg-Verhalten auswirkt . ne Bildet man mit den Versuchsgrößen den Quotienten > und tragt x diesen iiber dem Abstand auf , dann entspricht die gewonnene Kennlinie konstanter Kraft nur für x> 7.5mm der nach dem physi- vom cit kalischen Modell erwarteten Weagrechten mit dem Abstand Ursprung ( Abb.4) . 0,057 0,02- 0,01- Damit ergäbe sich für 7.5mm <x<w das Kraft-Weg-Gesetz IE 2 f= ¢ > 0267 SNe. 4 ao 2 (A) Da eine Sollage x_ > 10 mm in verbindung mit dem noch zu behandelnden Tichtschrankensystem für den Praktikunsteil- nehmer sehr anschaulich ist , bietet ( 1 ) eine genügende Näherung an das reale Verhalten des Systems . Damit wird die Bewegungsgleichung eyes .. c x mx(t) = mg - on 2) x(t) Sie soll im Versuch zur Simulation am Analogrechner ver- wendet werden , um die Möglichkeit des Simulierens auch nichtlinearer Systeme und deren Behandlung am Analog- rechner aufzuzeigen . y Um später einen Reglerentwurf anhand des Wurzelortskurvenver- fahrens durchführen zu können , muß zunächst eine Linearisie- Tung vorgenommen werden . Nach Linearisierung um die Sollage Xo mit si GSE oct io + act), ares (CG) <= X, + x,(t) ergibt sich ic i ic mi, (t) = mg - CS - 20 $i,(t) + 20 = x, (4) ES *s *s ie In der Sollage gilt mg = C 5 ; x S Damit läßt sich Is eliminieren , und man erhält die Differenti- algleichung für kleine Abweichungen um die Sollage Hit io = ae x6 wird E ak = in ig mx, (t) = mg - Ca = = ae i, (t) + aun x, (t) ‘S) S Ss zu er ee eier 4 P= ul und es folgt aes |< a x,(t) ¥ x, (t) =< Vine i,(t) : (3) Bemerkenswert ist ‚„ daß der homogene Teil der Differential- @leichung nicht von m abhängt . Aus Gleichung (3) ergibt sich durch Laplacetransformation x 1 + = p°X, (p) + X,(p) = je I,(p) ie Übertragungsfunktion der Strecke zu C ae.) ieee SE. _S (4) L,(p) e258 ee de wu-m eg oO 2 : C mit Ko = \o- — aT = | a \2e . Die Strecke hat die Form von Gleichung (10) des Versuchs und ist instabil . ae -- ee - 2 - ee -- oo Um einen stabilen Schwebezustand zu erreichen „ sind folgende leilsysteme erforderlich 1.2.1 MeBsystem Das ileßsystem , bestehend aus Strahler , optischem System und Fototransistor , dient der Erfassung des Abstandes zwischen Magnet und Anker . Sn = Ocxq« ® qe aA & ev oO we) ty ¥y UIST LJ V Lampe ET Linse Blende mit Spiegel Abb. 5 Das Licht der von einer stabilisierten Stromquelle versorgten Lampe wird nittels eines Hohlspiegels durch eine Blende ge- Schickt , die eine Beeinflussung der Ausleuchtung gestattet . Durch eine Saumellinse wird das einfallende Licht auf den Fo- totransistor fokusiert , der eine im Idealfall dem Abstand pro- portionale Spannung Urgm liefert. Wegen des unsymmetrischen Aufbaus des Magnet-Ankersystems una Zur Erfassung der kandbedingungen wurde eine empirische Ermitt- dung der Kennlinie des MeBsystems vorgenommen , die zu folgen- Ger Darstellung führt 10 UIST Vv D- n — oO —_ > — co 2 3 Demnach kann in einem Bereich von 20 mu die Kennlinie als li- nV near mit einer Steigung von 143 ae angenommen werden , d-h. Sg MV. 2 ; Grs(P) = Kis = 153 ms 3 O<x < 20 am 5 (5) Bs wurde in diesem Falle ein optisches MeSisystem verwendet , da es aufgrund seines einfachen Aufbaus besonders anschaulich und leicht zu erfassen ist . Der Strahlengang mul allerdings Stets freigehalten werden , da der nachgeschaltete kegler auf kleine Störungen heftig reagieren kann . Während des Betriebs tritt mitunter eine leichte Störwelligkeit auf , was auf den Sußeren Lichteinfluß der Kaumpeleuchtung zurückzuführen ist wer: 2 Regler Die Schaltung wurde aus der Bauanleitung einer Zeitschrift pentwickelt = = Sie wies ursprünglich unvefriediıgende Regel- eigenschaften sowie starke Kopplungen zwischen Ein- und Aus- Zangsgrößen auf . Zudem war keine getrennte Einstellung des P- , I- und D-Anteils wöglich . Zu diesem Zweck wurde eine Parallelschaltung von gegengekoppelten Cperationsverstarkern zit hohen Eingangswiderständen una entsprechendem Ausgangsver— Stärker vorgesehen . RS NK {ok} = R22 5 2 Tor} 2 C2 IC2 pa BY. A 5 ee ty IC4 ie 1M = ZA <6 mA SG + | . a + 4 7 r P9 poe R26 P10 er Lok) = 20k R23 zus kT} af + | d = Abb. 7 KN Mit Bar k-Po und P, = (1 - K)Po wird der I-Anteil zu 9 4 k R Gz(p) RER BO 6 = - Po BR, er eee Seed ec ea KIT 26 ı R 26 PS ge Abb. 8 Nach Abb. 8 kann P Sep ss SR Ge) = pH 4roP Fo6 geschrieben werden . Der D-Anteil ergibt sich zu Gp(p) = - T+ CzB.D Ba, . 12 Zur Entkopplung verfügt der PID-Regler über einen Eingangstrenn- verstärker mit Gr =.2.055 (Pig -105500): . Die Übertragungsfunktion der Istwerteingabe folgt nach Abb. 7 unter Annahue eines unendlich hohen Eingangswiderstandes des Trennverstarkers nach längerer Rechnung aus ies Upp(1 = ky) Ry ee Be Eee : 4 4 1 Bei der gewählten Einstellung liegt eine Verstärkung von (es En ae = Kıgm = 0.75 vor Dabei wurde Rz ; RK? P, angenommen und ein nichtlineares Ver- halten der Sollwerteingabe in Kauf genommen . Da der kegler auch als reiner Pli-kegler Verwendung finden soll , wird die Schaltung nach Abb. 8 verwendet . Die daraus resultie- “ rende leichte Kriimmung der Kennlinie wurde wegen des geringen Aufwandes hingenommen . Damit lautet die Übertragungsfunktion I BS Ge ne “pt no ) Kp(1 + T240) 1 + T,4P) p(1 + Typ) mit Kp = 0 + 1000 _4 Ky = 0O+ 100s Ky = 0O+ 100 s T, = le. Seas 13 1.2.5 Steuerung der magnetischen Feldstarke Der Spannungs-Stromwandler soll möglichst verzögerungsfrei die vom kegler aufgegebene Spannung Uc in den kegelstrom i umsetzen Um einen möglichst großen Strom zu ermöglichen , werden zwei Leistungs- transistoren von einem Darlington- Transistor getrieben , den der Rheg- ler ansteuert . Da an den Transisto- ren Spannungsabfälle von ungefähr sw w 0.7 V je Stufe auftreten , ergibt sich folgende Gleichung Ug 5 a Ug 2.1V Ug R + Lp R + Lp k + Lp R + Lp ae = ll | 4 li konst. Ikonst. Wird durch die Rückführung ausgeregelt , so daß gilt us - ee , K+. Lp woraus die Ubertragungsfunktion mit K = eo und K = 0.182 N7 p 1 + Tp 4 R 1, + S R + Ip 4 SO folgt . Zur Uberpriifung der auftretenden Gegeninduktivitat durch Anna- hern des Ankers an den Magneten wurde die Sprungantwort dieses Teilsystems gemessen , woraus sich mit L = RT für 4 mn<sx <@ Induktivitaten von L = 1.61 + 1.67 H ergaben . Daraus folgt keine beachtliche Abhängigkeit vom Abstand „ so daß L = const = = 1.64 H angenommen werden darf , wodurch eine Rückwirkung be- züglich des Spannungs-Stromkonverters ausgeschlossen wird .. Diese Konstante bewirkt jedoch ein starkes Verzögerungsverhal- ten des Wandlers mit einer Zeitkonstanten von T= = = ai = 300 ms 3 Deshalb wird eine Kaskadenregelung vorgesehen , die die Verzö- gerung vermindert . Bias Abb. 10 Der Hilfsregler ist als P-Regler ausgelegt una liefert die mas- Sebezogene , dem Strom i proportionale Spannung U, - Um eine direkte Beeinflussung der Rückführung zu ermöglichen , wurde der Regler im Rückwärtszweig vorgesehen . Seine Übertragungs- Funktion lautet wi Bin = 200 -. Somit besitzt der derwaßen realisierte Hilfsregelkreis eine Zeitkonstante von nur Sıs: K : G sen nei 2 GggwlP) = ae oe 5 et G-64% 1 + 7+ Ip Gap + KG... + Tp een K. = 0.001497" 7 + Roy, Ky W : = : = mit (7) a m Ein 1.3__Blockschaltbild_des_Regelkreises R 2a Gen Us ¥ i 7 Gp -. = Gy Gs — “LS UST u Gist Gur ft x Gis Abb.11 15 ce —- - = __VE = - - - - —- ee ee 1.4 Übertragungsfunktion des offenen Kreises Aus 1.3 folgt für den offenen Kreis Gy (iste ne ae R er G-GyR GP) Gonpetsfron und Gp) Ky Rs G R74 Tp 1+ TC - Tp) eetien Mit (6) erhält man K (1 + Te,p)(1 + Trop) G.(p) = — Kok = + DA dat) ad 50 Hiermit wird die Behandlung des Regelkreises und die Auslegung des Reglers anhand des WOK-Verfahrens möglich . 16 2, Reglerentwurf Im Praktikum soll die Simulation und Regelung des unter 1. @nalysierten instabilen , nichtlinearen Systems am Analog- Fechner durchgeführt werden . Bisher wurde dazu ein PD-Reg- ler verwendet , jedoch wäre , um stationäre Genauigkeit zu erreichen , ein PID-Regler wünschenswert . Mögliche Regler höherer Ordnung wurden nicht in Betracht gezogen , da der Versuch nicht zu kompliziert werden durfte und die Vorberei- Eungszeit einen Nachmittag nicht überschreiten sollte . In der Versuchsanleitung werden zunächst theoretische Kennt- nisse über das Stabilitätskriterium von Hurwitz und das Wur- Zelortsverfahren vermittelt und anhand eines auf das vorlie- gende System abgestimmten Beispiels demonstriert . Dies soll in der Versuchsvorbereitung nachvollzogen und am Beispiel ei- ner Nullstellenverlegung durchgeführt werden . Dabei soll der Einfluß der Nullstellen auf den Verlauf der WOK aufgezeigt “erden [3] . - i ne ee ea a a a -Z_... ee ee errr wrens eee Am Beispiel der folgenden Stabilitätsuntersuchung wird im Prak- Gikum die Möglichkeit aufgewiesen , mittels der aus der Systen- analyse gewonnenen Übertragungsfunktion des offenen Kreises Stabilitätsbedingungen für den geschlossenen Kreis zu erhalten . Die charakteristische Gleichung des geschlossenen Kreises lau- tet mit (8) und Gleichung (9) der Versuchsanleitung -Krk,(1 - 1T77P)01 + TpoP) ep) +1: = Pe SOs; : p(1 + Typ)(1 + Tp)(1- fp) (1 + Bp) > Ty > oe : Es liegt ein System 5. Ordnung vor . Da die Kompensation der größten Zeitkonstante ratsam erscheint , erhält man mit T24=T ein System 4. Ordnung EX Karl + DB) (pP) +1 = ee we Ae ee pCi + 9p) (1+ Tp) = tp) oder 4 3 = Vi : v = u mung) v 9) a] az ao a4 ay Das Hurwitz-Kriterium für n = 4 lautet - A a, > 0 (10) : Boe 4 a„a, + B85 - 31958 < Oo (11) Aus .(10) folgt‘, daß KK okp 2:30 und Ka sein muß . Aus (11) folgt Cre 2 Bes Kens, + Kp (Kgaz - Tp28583Kq - 2a,K S Teo) + a, + 8982 < 0 (12) u L “y J L =F J A B GC 2 Damit Kr reell bleibt , muß gelten : B’ - 4AC >? O „ woraus sich ein Zeitbereich Tao? ut = ergibt , für den K R2,krit. R reell ist . M@eahit man daraus ein Tro ‚so erhält man aus (12) die kritischen im min,max ° Beispiel 108.7 ; 0.009577 7 27.4 ms ge Er .K oie SB is*ist - 1 = a.) -0.009577 3 aS Ki + Trop) D = 4 (1 - 27.4msp)(1 + 8msp)(1 + 12.5msp)p 18 4 - -3 -3495 K,T..(Tp5 + Pp) 8 G_(p) = = € (36.55! - p)(1258”! + p)(80s”! + p)p 2 _ 99 3 > Se Em a, = 2740 ms A = 0.251 ms ae Tro 2 2 5 me A, az = 462 ms B = 2041 Z us 83 7 us Tro a5 = 6.9 ms C = 5926 ms? Bo - 4Ac > 0: S81ms° TE_ - 3.388 10’ms! TL, + 4.167 107ms® > R2 R2 Prog =2562.8 mS ; dishes Ppp an Ro 7 “Rea Gewahlt wird TR» = 1s Daraus folgt für Kp min ,max : 2 A = 251 300 2 ms? A 2 reg = i Kr min = 112.48 = Ss B = -80 949 Zz ms 3 K 2209/64 A = 5 926 ms k max 3 m ür p = jw lassen sich nun mit Hilfe eines Koeffizientenver- eichs aus (9) die kritischen Kreisfrequenzen bestimmen . 23,0 aa @) a 4 aes as = KokpTpo = 1 3 Wm a -1 Bin 0.0772 Sense 12298 = = -1 19 ee ce na ae = 2. = - -.„—< oo ee Das Aufzeichnen der WOK von Abb. 12 fur _1 = -3495-K,(1s + p) s = a = Be — pyGeos a) me 2 Gere k = 3495 Kp erfolgt in der Versuchsanleitung in einzelnen Schritten mit Hilfe der Regeln eines Anhangs . Hier wurde der Verlauf der Wurzelortskurve in den folgenden Darstellungen anhand des WOK-Berechnungsprogramms "Root Locus V" von Raymond H. Ash berechnet und geplottet | * — 33 = 22 - By 4 - 5 - 3 83 a X 2 - T T T T qT T T T T - T T 1 T T T T -55 -47 -39 -31 -23 -15 -? i 3g REAL Abb.12 20 e.3__Wurzelortskurven-Diskussion Um dem Praktikumsteilnehmer einen Einblick in die Möglichkei- ten eines Reglerentwurfs anhand des WOK-Verfahrens zu ermög- lichen , wird eine WOK-Diskussion durchgeführt , die im fol- genden erläutert werden soll . Mit Hilfe des WOK-Programms läßt sich die Verstärkung an jeder beliebigen Stelle der WOK berechnen „.was später in Verbindung zit der Simulation des Systems auf dem Analogrechner zur schnel- len Ermittlung der kritischen Reglerparameter führt . Anhand der Reglerverstärkung läßt sich nun das Verhalten der geregelten Strecke diskutieren . Das Bestreben liegt darin , sie möglichst schnell und stabil zu machen , d.h. zwei dominan- te Pole auf der Winkelhalbierenden mit großem Abstand zur ima- ginären Achse wären ideal . Betrachtet man hierzu die nötige Verstärkung , so erhält man jedoch einen zusätzlichen Pol auf der reellen Achse „ der von -80 so gegen den Ursprung strebt . Wird aber die Verstärkung verringert , so rücken die dominanten Pole zu nahe an die imaginäre Achse . Durch weiteres Annähern der ursprungnahen Nullstelle läßt sich @in Verschieben der WOK-Aste nach links (Abb.13/14) erreichen , Sedoch vermindert dies den I-Anteil der geregelten Strecke . ieses Verhalten kann man umgehen , indem man auf eine Kompen- ation verzichtet und beide Nullstellen gegen den Ursprung hiebt (Abb.15/16) . Die WOK-Äste wandern stärker nach links jedoch rückt weiterhin ein Pol gegen den Ursprung . Damit nur dieser Pol maßgebend wird „ können die WOK-Aste soweit nach inks verschoben werden , bis der Regelkreis bei entsprechender erstärkung nahezu reines VZ1-Verhalten aufweist (Abb.17 + 49) % das WOK-Programm einen beschränkten Darstellungsbereich be- itzt , wurden in Abb.19/20 durch Umnormierung im Verhältnis : 10 Gesamtdarstellungen der WOK ermöglicht . 22 - IMAG 104 > ’ y -55 -47 733 -3i -23 -1% -? 1 REAL ie i | Abb. 13 (MAG h en 4 ty a t4 a u t i) io i) 6 1 nN 15) ' uw U N tos Abb.14 38 4 32 4 IMAG Abb.15 ts EBS ve x > — >> —t nn. 4 EN Ete = T r T T Vict. T T T T T BER j „an =3) -23 =15 -? 1 9 Abb.16 ae naan FE Be : er | ee = -23 -3) =2 -15 -7 \ 9 £ Abb.17 : 22 5 z 22 - | K ® 1 a N l ! CC Nr Be ee Abb.18 : T T 1 =55 -47 33 31 -23 15 = ] 3 ya TE “g 3G Ah -2 8 2 REAL Abb.19 erwendet man statt des PID-Regiers einen PD-Regler so erhält n folgende Ergebnisse -KoKp(1 + Typ) G,(p) = Cl Tp) (1S= tp) t i + Dep) Uap) 2. Sie -Kak G,(P) +1 = zei +1=0 Cis = tpl ne a Dy ier KK, -1 + (DET -P.)p + (RT HT T-D T)p* + 2 Tp? SR ver DD Vv D v-D?P v-p-? Witz : a, ? O eee ead BG deb erage oe erfullt ; Kr? Kg = 8083 = a48 < O; ergibt aX R KsT,,IpT Bt den o.g. Werten folgt Btn) -3492 Kp Pp = = = es b) Z (Getss — p)iass" 2s pleat ©? mit Bee 5: = kK . m . it 188t sich die WOK nach Abb. 20 aufzeichnen . = 0 A 104.42 = er em 3-7 ı- I € X Sn 1 - 7 ‘ =34 \ T 7 T T 4 T T -14 -12 -18 -8 -6 =4 -2 8 hy Abb.20 Durch Verschieben der Reglernullstelle gegen den Ursprung wan- dern die WOK-Aste nach links und springen schließlich auf die linke Seite der Nullstelle (Abb.21 + 23) . Nun kann bei entsprechender Verstärkung der von Py nach Po wandernae Pol als dominant betrachtet werden , wobei VZ1-Ver- Halten vorliegt (Abb.23) . Abb.24 gibt den Verlauf der WOK bei kleiner werdengem Po an = a / | | | te [7 L ImaC Sue za AS ee 8 Abb.21 o Se S NN 3 N 7 T oN NA x x -34 \] \ -3 3 T T 1 7 T T T T T T T T 7 T rT 1 =a -12 -12 -B -D A 2 @ ve REAL Abb.22 38 4 305 227 © Cc = 14-7 = cae Se 644 Er aes a 4 -18 T T T T T T T T T T T TS T Tee -55 -47 -39 -33 -23 -15 -7 REAL Abb.23 «> < a T 14 T T 1 3 Abb.24 26 re a eae ee en ee ee .._[ Die Versuchseinrichtung verfügt über eine Sollwert- sowie ge- trennte P- , I- und D-Anteil-Eingaben . Diese ermöglichen ei- nen direkten Einblick in die Funktionsweise eines PID-Reglers da die Auswirkungen einer Parameteränderung sofort am Verhal- ten der Strecke zu verfolgen ist . 2.4.1 PID-Regler Mit Hilfe der folgenden Umformungen wird eine einfache Bestim- mung der Reglerparameter möglich . Es gilt Kp = Kp(Tp, + Teo) - KT Kr = Kp (13) Ky = Eetpitro - Kply und umgekehrt Hr : : Kp + KT A = + ne > ee + Kp? R:1/2 oe Ras 2) Kr Kp Rn = RK, : 2.4.2 PD-Regler Bei Verwendung als PD-Regler wird Ky O und die Übertragungs- funktion Knp oe 26 i ee K = 0.1000 Rye Str SP eT Deren le : tr ¢ q+ Typ : Ty = 12.5 ms : Hier gilt Kp = Kp RK, = (fp - Tp)Kp und Pes *D at Ro og: ep P et i a —- - - . ..—_— Ein Vorteil des Analogrechnens liegt unter anderem in der ein- fach durchzuführenden Parameteränderung der Differentialglei- chung eines Systems , was am Beispiel einer Wegänderung kurz erläutert werden soll . Ändert man den Abstand des Ankers vom Magneten , so geht dies in die Bestimmung der Zeitkonstante der instabilen Strecke nach Gleichung (4) ein : = S m „ss Bei bleibender Reglereinstellung führt dies zu einer Verschie- bung der Pole und damit zu einer Veränderung des Verlaufs der Wurzelortskurve . Verwendet man eine Reglereinstellung. nach Abb.17 , so zieht eine Verkleinerung von Xo eine Verminderung von T und damit eine Verlagerung des negativen Pols nach sich . Dieser wandert vom Ursprung weg und bewirkt eine Verlegung der WOK in die gleiche Richtung (Abb.25) . IMAG Abb.25 In Abb.26 ist zu erkennen „ d.ß dies zu einer Stabilisierung des Systemverhaltens führt 29 3. Simulation auf dem Analogrechner [6 | Versuch 9 des Regelungstechnischen Praktikums baut auf Versuch 8 auf , der die Grundlagen des Analogrechnens vermittelt . Ziel des Versuchs soll nun sein , die Anwendungsmoglichkeiten und Vorteile des Analogrechnens zu zeigen . Deshalb wird am Beispiel der magnetischen Aufhängung eine Simulation durchge- führt . Hierbei wird insbesondere auf die Möglichkeit der Simu- lation auch nichtlinearer Systeme und der Parameteränderung hingewiesen . Zur Demonstration der Wirklichkeitsnähe einer AR-Simulation soll schließlich die reale Strecke unter Ver- wendung des an der simulierten Strecke entworfenen Reglers geregelt werden . 3.1.1. Strecke Mit der Amplitudenskalierung x(t) = A5x5(t) 5 Ap = 200 = x(t) = Ayx,(t) 5; A, = 0.48 x(t) =Asxo(t) ; A, = 0.045 m iff) = Bei (te) 2, BS ak kann Gleichung (2) angeschrieben werden ae mx(t)-= mg - C x(t) Es wird ae iota) Ss ea K = : 3 B°i°(t) A5xXo(t) se Ke ——) : 222 AG x6 6b) 30 Damit folgt schließlich i I a hen A, x, (t) Anhand dieser Gleichung kann die Schaltung (Abb.27) gezeichnet werden . Durch Koeffizientenvergleich mit ig(t) > 2 ney = ao TE) werden die Potentiometerwerte g E KB AA), Cc ees : Gare = u 04° A, ’ 24410) Ay Ay + : — und intern folgt mit a Ne Skee SOO SS oe 0 R x ; Anfangsbed.: X99 » 10 4 x(t) - E, x4(t)dt + Xoo : A sowie 2 n A <] On 5ke = = 07 A, 3.1.2 Verzögerungsglied Die Übertragungsfunktion des Spannungs-Strom-Wandlers lautete Ky : 1 Gosy = 7 > Tp 7 5 Ky = 0.0049 5 I, = 6ms 7 Vv R Damit ergibt sich die zugehörige Differentialgleichung zu Kp 1 it) = qe up(t) = mil) Vv Vv Mit der Amplitudenskalierung i(t) un (t) > N 200 Hi) Ed 5 EV Upotgo lt) ; Uno 41 folgt die skalierte Gleichung 4B U Ro : up.(t) - m = i(t) Ro ay I] co) K : W Eh)e m A en Hiernach entsteht die Schaltung in Abb.27 . Für die Potentiometer erhält man mit 2 u Ky Un. Se Kos 0061516 Gr. ck = m =— 05 Ir 1, Io ce = 4 2 Da der reale SSW eine Eingangsverstärkung von V = 100 besitzt , wird diese auch hier vorgesehen und os = 0.0613 Cc =e Ferner wird 4 ies I, ; Angek = TT T, u und damit Ag = Oees Cc i} a 3.1.3 Lichtschrankensystem , Soll-Istwertvergleich , Trenn- verstarker Diese drei Teilsysteme weisen P-Verhalten auf und können daher zusammengefaßt mit Hilfe zweier Potentiometer a, , us (Abb.27) und eines Addierers simuliert werden . 3.1.4 Regler Es wird ein PID-Regler nach Schaltbild 27 vorgesehen . 4 Man erhalt Gp(P) Aok Pp und G-(p) Gn(p) folgt aus 10. aooK Unp (P) + a QUp(p) = D = Up(p) = U,(p) Dies ergibt Up(p) 4 : p 10QQ9k 100. ok Bi: O4.)p ae = > Gy (p) = 4 Daog 1 + Gar a 1009 und schließlich wird aus 32 = U]n,(P) ( Gp(P) + G-(p) + 100936 (Pp) ) Ana = Uprp(P) die Übertragungsfunktion des Reglers Potentiometereinstellung Der Regler wird später mit einer Verstärkung von Ve U Gp(p) = Uprp 62? Un, (P) i | 201903 O94 Aoak K 59 + ge pP ) 8 rs 1009 Ky Kpp + — + ) ? p Poot. Typ = 1000 aus versehen , so daß die Potentiometer folgendermaßen eingestellt werden : Kp Kon S ous Ky AgakVe zus ao %oz NV aus Ky ak 09 a (@) Th = 7 i] Kp le: ER = (14) 02 AnaRVE zus : ä = Kp Ooo 03 oa S aus Ang = 0.01 gewählt 5 Ko = 0.38 93 3.15 AR-Schaltung 34 3.1.6 Kopplung der Teilsysteme Im Praktikum sollen mit dem gleichen Regelsystem die simulier- te und die reale Strecke geregelt werden Abb. 28 veranschaulicht die Beschaltung V HES © Ls is Gc Goow nel D reale Strecke ee a ee YAR = SistGt, aS 1 UTr Z EIN , = RUS nen IST PN Te St" aa) mead So a ge es an Ps a a deca nes en ee Ne 10 As s&sT6Tr Ks — (15) © 100-Gogy : simulierte Strecke x Abb. 28 Der SSW der. realen Strecke verfügt über eine Eingangsverstär- kung von V = 100 . Hinter dem IS-System wird über Oz das PR 3 gemeinsam mit der Eingangsverstärkung Crisp den Übertragungs- funktionen von Soll-Istwertvergleich und Trennverstärker ent- spricht , dem Ak-kegelsystem die Lageinformation zugeführt . Um einen ausreichenden Regelbereich zu erhalten , wird eine Reglerverstärkung Cage = 10 vorgesehen . Bei Regelung der simulierten Strecke wird V im Verzögerungs- glied berücksichtigt . As dient der Umsetzung von x. zu der der realen Strecke ent- 6) sprechenden Spannung . Für die reale Strecke gilt ! G = ARR ISTeTr@pın und damit M3C1sneprp,artaus” = 1-4 Com 33 Hieraus folgen‘ Az = 0.154 aus 9 I@>tp arl= 0 + 1 In EIN und AUS müssen , um ohne Regleränderung umschalten zu können , die Größen identisch sein . Für EIN gilt demnach 4 70 XoAors"1g7Str = *SisSirspFor Ee EI x in NE BIN: LI x in V und man erhalt G = 0.09225 . 4 Us = 76 Aotıseıstetr Fur AUS folgt U PID o 200 Gosw 700. “© 10 = GoowUprp r rl i, inv L v j Io, in ME fe | und gE KB u: Ay A, Die Sollwerteinstellung erfolgt durch die Potentiometer Zag und Any und es werden - E = 00 Ay Es ist zu beachten , daß die Differenz Us 7 Urom einer sprung- haften Anfangsstörung entspricht . Diese darf aufgrund der be- grenzten Reglerverstarkung nicht beliebig groß gewählt werden . 36 4.1.7 Beispiel = i 108.7 8 I Ke = 0.009577 T 14.72 mm rs ll Berechnung der Potentiometerwerte m g 9.81 > : ee ea <0n 2 = 200 =, Ss m A KB 9.81 „2 0.009577-2 Onncar= \r 1022 10°=:0,9427 = 5 we 200%, 0.045 S Oy, = 0.0943 ,c = 10 AS ob ee Ree N dee ie 0.01778; ar = 0.0178 c=4 07 ner el 07 De Xs og a ee 0.3272 Die aus der WOK-Betrachtung gewonnenen Reglereinstellungen sollen im folgenden simuliert werden . Die Gleichung des offenen Kreises lautet nach (8) -0.009577% Aa Kp(1 + Te,p)(1 + Trop) G,(p) = p(1. + Tp)(1 = Tp)(1 + Tip) + Typ) oder 4 Ze = eG) -127590 TpjT.oKp (Try + p) (Tp + py-s : (36.58 + p)(36.58°' + p)(125s_| + p)(80s° | + p) = 2 nn Ron : Für Abb.18,19 (Thy = 33s, Tp = 33ms) erhält man bei Uberschrei- ten der imaginären Achse die kritische Verstärkung ER 20.46 100-62 ae K 0.436 10° s Kerit,min R krit,min 127590 33s 0.033s Mit (13) folgt = K, = 3.14 8 Goo = 0.00006 Ke= 105,62 und nach (14) Go, = 0.1056 Knee elders Gio, = 0.1023 Damit ergibt sich folgende Tabelle ; 00 0.3272 09 0.0100 0159051055 10 0.3800 02 0.0060 11- 0.0943 03: 20.1023 72.20.0100 04 0.0491 13° 0.1540 05 0.0613 14. 0.9225 06 1.0000 15 0.0923 07 0.0178 08 0.2500 Zum Aufzeichnen der Sprungantworten mittels XY-Schreiber muß das Regelsystem wegen der Trägheit des Schreibers verlangsamt werden , was durch Herabsetzen der Potentiometer A„,;»Arc,Ane » 04? 705° "06 %7 og» A112 auf ein Zehntel ihres berechneten Wertes ge- schieht . Weitere Einstellungen seien tabellarisch aufgeführt Abb. 19 12 13 20 Inı 33s 1s 10s = To 44ms 27.4ms 27.4ms 27.4ms Kerit,min 9.470 10 0.4 10°s 0.367 10 0.357 10 : 4] 4 = K, ert pon Se 12ES VIE 10.51s 02 K, ne! ah erin ee 2 Kp 104.62 6,2 105.2 102.11 Ky 21225 1.68s 985 “lease fen 0.1046 0.1162 0% 1052 O<= 1024 G95 0.006 0.002 0.0002 _ doz 9571023 0.0723 0.0743 0.0744 39 Das im Versuch realisierte Regelsystem setzt sich aus Licht- schrankensystem , Soll-Istwertvergleich , PID-Regler , Span- nungs-Stromwandler und Netzteil zusammen . Das Lichtschrankensysten besteht aus Fototransistor > Sammel- linse , Reflektor und Lampe , die von einem stabilisierten Netzteil gespeist wird , das mit Transistor Tg und den Kompo- nenten Ry 010923 aufgebaut ist . Der Fototransistor Ty wird ebenfalls von einer stabilisierten Spannunsqguelle gespeist (B,C, ,D,) . In seinem Emitterzweig liegt das Trimmpotentiome- ter Py . Der Spannungsabfall an diesem Potentiometer bestimmt den Abstand zwischen Anker und Magnet . Als Trennverstärker zur Entkopplung von Soll-Istwertvergleich und PID-Regelteil dient der Operationsverstärker IC 8 ‚dessen Verstärkungsfaktor Kor mit Potentiometer Pao eingestellt wird . Am Bingang werden zwei Spannungen summiert . Zum einen die po- sitive Spannung von Potentiometer Py und zum anderen die nega- tive Gleichspannung von Potentiometer Ps , das der Sollwertvor- gabe dient . Die Summe dieser beiden Spannungen bildet um Kn verstärkt die Eingangsspannung des PID-Reglers , so daß mittels des als Summierverstärker beschalteten IC 4 der Transistor T, angesteuert werden kann . Bei der Schaltung handelt es sich um eine spannungsgesteuerte Stromquelle , deren Leistungstran- sistoren Tz und T, den Strom durch den Elektromagneten Tr, steuern . Den Rückkopplungszweig des Spannungs-Stromwandlers bilden der Operationsverstärker IC 5 und die Widerstände Ray 49 sowie das Trimmpotentiometer Po . Da der dem Strom proportionale Spannungsabfall an den Widerständen R49 und Ryz nicht masse- bezogen ist , mußte IC 5 eingefügt werden . Das Netzteil besteht aus einem Spannungsstabilisator IC 7 und einem Längstransistor Ts . Um eine symmetrische Versorgungs- spannung für die Operationsverstärker zu erhalten , wurde an den nichtinvertierenden Hingarg von IC 6 die halbe Ausgangs- spannung des Stabilisators IC 7 gelegt . Durch die Gegenkopp- lung des Operationsverstärkers liegen auch die Emitter der 40 Transistoren T,und Th auf halber Speisespannung . Die Emitter dieser Transistoren bilden den Massepunkt der Schaltung . Zur Vermeidung hochfrequenter Schwingungen werden die Konden- satoren Cy, und Cao sowie die Ausgleichsschaltung durch die Widerstande Roy» Roc und die Diode De eingesetzt . Die Potentiometer P51P31Po und Pe wurden aus dem Gehäuse heraus- seführt und als 10-Gangpotentiometer ausgelegt . Zwei Steckbuchsen ermöglichen das Umgehen des internen Regel- systems durch Abgriff der Fototransistorspannung zum einen und Aufgabe eines externen Regelsignals an Rog Zum anderen . +1 COO7NI} mu Mi za [9 zy Blew bl 3001 40-79 AQ7/00SZ 59 M007 /AZL si‘< J >gcge NZ "7 uool wo r/\ x oO iva) id 79 L28 GN : i |e no} Suz ara f i 2 Gd | €9 | 982u AS /NOOL Jos yayjou 42 Bauteile Sicerstande Halbleiter m1,R24 2k? me BEY 61 = =BRY “G2; 1k5 BPX 62 MEL11 0.2. #3 DDK T2 BC 547 24 ,R14...17 100k PAIR sor ae N 5059 BS ,R6,R22,R26...28 10k is BC 141 E7 4M [7 BC 161 BS ,k9 470 410,R11 1 AIR D4 4V7/40CmW , Zener Bie, K13 10 /11VA De 1 N 4002 18 -22/5VA D4 12V/4COmW , Zener 19 - 1k8 D4...7 Si-Diode 3A/40V 0,K21 ATK D3 Si-Diode 1A/12V 4 82k 5 4k8 10s. G8 zus ate fame 720 Potentiometer Diverses „P8 Sk es 10k Wendel LA Birne 12V/ca.100mA 2) 100k Wendel keflektor Pp , P10 aM Konvexe Linse f=100mm ek5 TrA zum Magneten umgebauter PS 25k Wendel Netztransformator 50k ine Netztransformator 2 Sk Wendel C4V/3A ondensatoren 100u/6V pe qu 10u C6 400n 2500u/40V in ie 10u/40V Be 5 sche 10u/30V 3 ttm, AEE TE, Foxton 2 Tr zt r Fer am Reg > aD. H a ES F [2 f. ae =» a i } i i Re) iy : i re 5 re) NEL BETTEN ELTERN METER ERNEETSTHTNITER o IR ea : Be on [Be dee bes NER eo © dt. onthe pee EN ENTER ER tor tae een ine: ee at PRESSENENE Pe Era ken : Ty, GTETENSHIERRLTETEIE 3 vr i jon OF = eI = mer a Tv =e 3 Sa Co A E c+ fe & T2 ER Tk — US R eats Pe ye tak Bets Sa \k3 Pr | 3 aan ee | Bee I, at ee Se EZ : I bp 4 ala “hs Sees T f or iL | i= Tr?" RP : Pa {xe F . ra ns ae ges R12 Ä Auf der Platine und dem Bestückungsplan ist der Trennverstär- ker (IC 8) nicht vorgesehen , da sich seine Notwendigkeit erst nach Fertigung der Platine ergeben hat . Bei einem Nachbau sollte er daher gleich auf der Platine vorgesehen werden . 49 - Literatur Aas Blektor, 1/77 : "Schwerkraftabsorber" . Fritsche, R.: "Analogrechnen II" , Regelungstechnisches Praktikum , Universität Karlsruhe Mesch, F.: "Regelungstechnik II" , Vorlesung an der Uni- versität Karlsruhe . Föllinger, O.: "Regelungstechnik" , Elitera-Verlag , Berlin 33 1972 . Simonyi, K.: "Theoretische Elektrotechnik" , 6.Auflage , VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften , Berlin AGEs, Heinhold, J./Kulisch, U.: "Analogrechnen" , BI Wissen- schaftsverlag , Mannheim 1969 . Lehrstoff Inhalt 9-1 Analogrechnen II Regelung einer instabilen Strecke Stabilitatsuntersuchung nach dem Hurwitz- Kriterium Reglerauslegung nach dem Wurzelortsverfahren Selbständige Simulation auf einem modernen Analogrechner Grundlagen 1.1 Stabilitätskriterien 1.1.1 Stabilitatsdefinition 1.1.2 Kriterium von Hurwitz 1.1.3 Beispiel 1.2 Das Wurzelortsverfahren 1.2.1 Definition der Wurzelortskurve 1.2.2 Beispiel 1.2.3 Dominante Pole 4.2.4 Diskussion des Kurvenverlaufs Regelung einer magnetischen Aufhängung 2.1 Untersuchung der Teilsysteme 2.2 Aufstellen der Übertragungsfunktion des offenen Kreises Simulation auf dem Analogrechner 4.1 Schaltungsentwurf 3.2 Messung der Sprungantwort Versuchsvorbereitung Versuchsaurchführung und Auswertung Literatur Anhang Einleitung Der Zweck einer Regelung ist normalerweise der Ausgleich von Störungen , kann aber auch die Verbesserung des dyna- mischen Verhaltens sein . Letzteres ist insbesondere bei instabilen Strecken (z.B. Überkopfpendel, Hubschrauber) der Fall , die mit einem geeigneten Regler stabilisiert werden müssen . Im vorliegenden Versuch soll die Regelung einer instabilen Strecke (magnetische Aufhängung) unter- sucht und an einem Analogrechner simuliert werden . 1. Grundlagen Die nächstliegende Frage bei der Auslegung eines Regelkrei- ses ist die nach der Stabilität . Bei höheren Ansprüchen wird jedoch häufig nicht nur Stabilität , sondern ein be- stimmtes dynamisches Verhalten verlangt . In diesem Ab- schnitt wird daher zunächst ein Stabilitätskriterium behan- delt ; es folgt das Wurzelortsverfahren , welches die Ana- lyse des gesamten dynamischen Verhaltens eines Kegelkreises und in gewissem Umfang auch seine Synthese gestattet . 1.1 Stabilitätskriterien 1.1.1 Stabilitätsdefinition Im folgenden sollen nur lineare zeitinvariante Systeme be- trachtet werden , die sich durch folgende Differentialglei- chung beschreiben lassen (n) any(t) Sa ee a,y(t) + ayy (t) + agy(t) = box(t) + b4x(t) + tones + bent) : (1) Für die Stabilität oder Instabilität des Systems spielt nur die homogene Differentialgleichung eine Rolle , da die Sta- bilität eine Systemeigenschaft ist und damit bei linearen Systemen unabhängig von den Eingangssignalen x(t) definiert sein sollte . Als Lösung der homogenen Differentialgleichung ergibt sich bei einfachen Wurzeln 4; der zugehörigen charak- teristischen Gleichung eine Sunme von Gliedern der Gestalt 3 Asse : (3) Man spricht von einfacher Stabilitat , wenn die homogene Lösung für beliebige Anfangsbedingungen und beliebige Zei- ten beschränkt bleibt , wenn also lYnom6t)| <” Bi Dies ergibt bei einfachen Wurzeln die Bedingung Re tr} <0 und bei mehrfachen Wurzeln Re {A} EEE Dagegen spricht man von asymptotischer Stabilität , wenn die homogene Lösung für große Zeiten asyuptotisch gegen Null strebt , wenn also lim a = 0 gilt . Dies ist auch bei einfachen Wurzeln nur moglich fur ke [2 £ 0 Da die Wurzeln der charakteristischen Gleichung gleichbe- deutenä den Polen der zugehörigen Übertragungsfunktion Dr